방멱

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그림 1. 방멱의 도해

기하학에서, 방멱(方冪, 영어: power)은 평면 위의 어떤 에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.[1]:29, §41

정의[편집]

평면 위에서, 중심이 이고 반지름이 인 원 의 점 에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다.

점원에 대한 방멱[편집]

한 점 로 이루어진 집합은 중심이 이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 에 대한 의 방멱은 단순히

이다.[2]:30, §43

직선에 대한 방멱[편집]

직선 은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 에 대한 의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 를 지나는 의 수선의 발이 라고 하고, 직선 위의 점 를 중심으로 하고 를 지나는 원 가 직선 와 두 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 에 대한 의 방멱과 의 지름의 비의 절댓값은

이다. 가 고정되고 에서 무한히 멀어질 때, 의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 로 수렴한다. 따라서, 직선 과 점 사이의 거리

을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.[2]:30, §43

성질[편집]

평면 위에서 원 와 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

  • 내부의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 양수인 것이다.
  • 위의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 0인 것이다.
  • 외부의 점일 필요충분조건은 에 대한 의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 이고 반지름이 인 원 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대한 방멱이 인 점들의 집합은 일 경우 중심이 이고 반지름이 인 원이며, 일 경우 점원 이며, 일 경우 공집합이다.[2]:30, §44

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 근축이라고 부른다.

방멱 정리[편집]

평면 위에서 점 를 지나는 직선이 원 와 (같을 수 있는) 두 점 에서 만나며, 를 지나는 또 다른 직선이 와 (같을 수 있는) 두 점 에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, 영어: power theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.[3]:28, §2.1, Theorem 2.11

여기서 은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, 는 직선 의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 에 대한 점 의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.

두 현에 대한 방멱 정리[편집]

의 두 내부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱의 −1배와 같다.

증명:[3]:28, §2.1

는 모두 호 에 대한 원주각이므로,

이다. 각 맞꼭지각이므로,

이다. 따라서, 삼각형 는 서로 닮음이며, 따라서

이다.

두 할선에 대한 방멱 정리[편집]

의 두 현 의 연장선이 외부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱과 같다.

증명:[3]:28, §2.1

편의상 이고 라고 하자. 그렇다면 각 는 호 에 대한 원주각이므로,

이다. 또한 삼각형 는 각 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

이다.

할선과 접선에 대한 방멱 정리[편집]

의 현 의 연장선과 위의 점 에서의 접선 외부의 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

이다. 특히, 이는 에 대한 의 방멱과 같다.

증명:[3]:28, §2.1

편의상 라고 하자. 그렇다면 각 는 각각 호 에 대한 원주각과 접현각이므로,

이다. 또한 삼각형 는 각 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

이다.

방멱 정리의 역[편집]

반대로, 만약 직선 가 점 에서 만나고,

를 만족시킨다면, 공원점이다.[2]:30, §42

증명:[2]:30, §42

편의상 가 직선 위의 점이 아니라고 하자. 점 를 지나는 원 가 직선 와 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여

이므로, 이다.

원의 직교와의 관계[편집]

중심이 이고 반지름이 인 두 원 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
  • 에 대한 의 방멱은 이다.
  • 에 대한 의 방멱은 이다.

역사[편집]

'방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.[3]:30, §2.1

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Eves, Howard Whitley (1995). 《College Geometry》 (영어). Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-86720-475-3. 
  2. Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 
  3. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 

외부 링크[편집]