기하학에서 동축원 다발(同軸圓-, 영어: pencil of coaxal circles)은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다.
평면
위에서 서로 다른 두 원
의 방정식이
![{\displaystyle a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48471a46af43a4c1e83e1a08e96bad116c1fc8f3)
![{\displaystyle a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8409abf9afae2b5f7dc45e202febfdd3a425aa)
이라고 하자. 여기서
와
은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) 두 원
으로 생성된 동축원 다발은 방정식이
![{\displaystyle \lambda (a(x^{2}+y^{2})-2bx-2cy+d)+\lambda '(a'(x^{2}+y^{2})-2b'x-2c'y+d')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b178192fcfacc9f173ba3ec7c64bec24a6b33973)
인 원
![{\displaystyle \lambda \Gamma +\lambda '\Gamma '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5b34ed91fd16c96d188967cba6cbeeacd7d8d2)
들의 족
이다. 여기서
은 실수 동차 좌표이다.
평면
위에서 서로 다른 두 원
으로 생성되는 동축원 다발
는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상
가 실원을 포함할 경우
가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우
가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표
에 대하여,
![{\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}(\lambda ,\lambda ')=\lambda ^{2}(b^{2}+c^{2}-ad)+\lambda \lambda '(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda '}^{2}({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dfebf2a7db22f86a329c1bc90aeb7d45d0bbd3)
와 같이 표기하자. 이는
에 대한 실수 이차 형식이다.
이 직선이 아닐 경우 이는
의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약
이 직선이 아니고
이 양수·0·음수일 경우,
은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식
의 행렬식은 다음과 같다.
![{\displaystyle 4\det \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}=4(b^{2}+c^{2}-ad)({b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910fdefee4f68c5075193d5bac0f5bbea5bb9940)
동축원 다발
는 이차 형식
의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.
만약
이라면,
은 양의 정부호 이차 형식이며,
속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한
와
은 서로 다른 두 교점
에서 만난다. 보다 일반적으로
는
와
를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히
의 근축은 직선
이다. 이 경우
를 타원형 동축원 다발(楕圓型同軸圓-, 영어: elliptic pencil of coaxal circles) 또는 교차 동축원 다발(交叉同軸圓-, 영어: intersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 공통 교점
를
의 기저점(基底點, 영어: base point)이라고 한다.
만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대
일 경우,
는 교점이
인 공점선 다발이다.[1]
만약
이라면,
![{\displaystyle \Delta _{\Gamma ,\Gamma '}\colon (\lambda ,\lambda ')\mapsto \left(\lambda {\sqrt {b^{2}+c^{2}-ad}}\pm \lambda '{\sqrt {{b'}^{2}+{c'}^{2}-a'd'}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39e7b75c3b9fc97aec8c40c184ec206d7ee6a36)
은 완전 제곱의 꼴이고,
는 유일한 점원
를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한
와
은 어떤 점
에서 서로 접한다. 보다 일반적으로
속 임의의 두 원은
에서 접하며, 특히
의 근축은
에서의 공통 접선이다. 이 경우
를 포물형 동축원 다발(抛物型同軸圓-, 영어: parabolic pencil of coaxal circles) 또는 접동축원 다발(接同軸圓-, 영어: tangent pencil of coaxal circles)이라고 한다.
만약
일 경우,
는 평행선 다발이다.
만약
이라면,
은 부정부호 이차 형식이며,
의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원
로 이루어진다. 또한
와
은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로
속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우
를 쌍곡형 동축원 다발(雙曲型同軸圓-, 영어: hyperbolic pencil of coaxal circles) 또는 비교차 동축원 다발(非交叉同軸圓-, 영어: nonintersecting pencil of coaxal circles)이라고 하고, 두 점원
를
의 극한점(極限點, 영어: limiting point)이라고 한다.
만약
일 경우,
는 중심이
인 동심원 다발이다.
동축원 다발
는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는
를 생성한다.
동축원 다발
속 원의 중심들은 공선점을 이룬다. 동축원 다발
속 임의의 두 원
의 근축은 같다. 이를 동축원 다발
의 근축(根軸, 영어: radical axis)이라고 한다. 동축원 다발
의 근축은 중심선의 수선이며, 또한
의 한 원소이다. 즉,
속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발
속 임의의 비직선 원소에 대한
의 근축 위의 주어진 점의 방멱은 같다.
동축원 다발
의 중심선을
축으로 삼고 근축을
축으로 삼았을 경우
의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2ax+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205e03dd045206c4f1f405d3332292ca6a70c744)
여기서
는
속 임의의 비직선 원소에 대한
의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고,
는 매개변수이다. 만약
이라면,
는 기저점이
인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든
에 대하여 실원을 나타낸다. 만약
이라면,
는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은
에 대하여 실원을 나타내고,
에 대하여 점원을 나타낸다. 만약
이라면,
는 극한점이
인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은
에 대하여 실원을 나타내고,
에 대하여 점원을,
에 대하여 허원을 나타낸다.
임의의 동축원 다발
에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발
가 존재하며, 이를
의 직교 동축원 다발(直交同軸圓-, 영어: orthogonal pencil of coaxal circles)이라고 한다.
- 임의의
및
에 대하여,
와
은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.)
자명하게
가 성립한다.
의 직교 동축원 다발
의 중심선과 근축은 각각
의 근축과 중심선이다. 만약
가 기저점이
인 타원형 동축원 다발이라면,
는 극한점이
인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약
가 교점이
인 공점선 다발이라면,
는 중심이
인 동심원 다발이다. 만약
가 포물형 동축원 다발이라면,
는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약
가 평행선 다발이라면,
역시 평행선 다발이다. 만약
가 극한점이
인 쌍곡형 동축원 다발이라면,
는 기저점이
인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약
가 중심이
인 동심원 다발이라면,
는 교점이
인 공점선 다발이다.
원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.
동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간
속 단위구
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade7f02e52036b3cc8d388179d680e8b8508b6ae)
와 평면
사이의, 북극
에 대한 입체 사영
![{\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c41c4283d12a8e3981f265b9352c304c2d9346a)
![{\displaystyle \varphi \colon (x,y,z)\mapsto \left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)\qquad ((x,y,z)\in \mathbb {S} ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4aba535df17f78cb5ee96e787c8af5a3e6528e)
를 생각하자. 평면
속 두 원
의 원상
은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다.
![{\displaystyle -2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ae33530ad6ba28342ade9a1fa2ff1257f42695)
![{\displaystyle -2b'x-2c'y+(a'-d')z+(a'+d')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca3834deaf7b4242291769fc97ba63ed61e942e)
이 두 평면
은 단위구
와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약
가 실원 또는 유한 직선이라면
는
의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면
는 점원이며, 허원이라면
역시
허원이다. 특히 만약
가 단위 허원이라면
는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약
이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면
은 각각
의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면
은 무한원 평면이다.
동축원 다발
은 교선이
인 공선면 다발
![{\displaystyle \varphi ^{-1}({\mathcal {C}})=(\lambda \varphi ^{-1}(\Gamma )+\lambda '\varphi ^{-1}(\Gamma '))_{(\lambda ,\lambda ')}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d320ab21f96a7a15111c2d0bbf9e711482f65571)
과 일대일 대응한다. 만약
의 교선이 단위구
와 서로 다른 두 점
에서 만난다면,
는 기저점이
인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극
이라면,
는 교점이
인 공점선 다발이다. 만약
의 교선이 단위구
에 점
에서 접한다면,
는 중심이
이고 근축이
의 교선과 평면
의 교점과
를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극
이라면,
는
의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약
의 교선이 단위구
와 만나지 않는다면,
는
의 단위구
에 접하는 두 원소의 두 접점
에 대한 원상
를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극
이라면,
는 중심이
인 동심원 다발이다.
서로 직교하는 두 동축원 다발
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 원소들의 극은 모두
의 교선 위의 점이며,
의 원소들의 극은 모두
의 교선 위의 점이다. 특히, 만약
가 쌍곡형 동축원 다발일 경우,
의 교선은
의 원소와
의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약
가 포물형 동축원 다발일 경우
의 교선은
의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.
- ↑ Schwerdtfeger, Hans (1979). 《Geometry of Complex Numbers》 (영어). New York, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63830-8.