사영기하학에서 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는
차원 사영 공간을
개의 좌표로 나타내는 좌표계다.
차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다.
가 실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고,
개의 수의 순서쌍의 집합
에 다음과 같은 동치관계를 주자.
(
)
그렇다면
차원 사영 공간
을 몫공간으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle XP^{n}\cong (X^{n+1}\setminus 0)/{\sim }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f43383220689c4382d70cc877839d35d7a9cf35)
이 경우,
을
의 동차좌표라고 한다.
동차좌표는 유일하지 않다. 즉,
과
은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이
(
)
을 정의하여
차원 사영 공간을
개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우
인 점들을 나타내지 못한다.
동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에
과 같은 곡면을 정의하려면,
는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.
이라면, 모든
에 대하여 ![{\displaystyle f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812b864796922667bad55676db0a555c3b89580f)
이라면, 모든
에 대하여 ![{\displaystyle f(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a035f5a08d22c415236b14be75078adc3e8a04)
만약
가 다항함수라면,
는 동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어
![{\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3271471a4b3495938c60606a27302bcdbd68ad6f)
는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면
을 정의할 수 있지만,
![{\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{2}+3x_{0}^{2}x_{1}-x_{0}x_{1}^{2}+2x_{1}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c19318cbf427e0780855daacaf22e467bfee033)
는 동차다항식이 아니므로 곡면
을 정의할 수 없다.
아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.[1][2]