자취

기하학에서 자취(locus, 복수형: loci, 라틴어로 "장소", "위치"를 의미)는 그 위치가 하나 이상의 명시된 조건을 만족하거나 그에 의해 결정되는 모든 점의 집합(일반적으로 직선, 선분, 곡선 또는 곡면)이다.^[1]^[2]

어떤 성질을 만족하는 점들의 집합은 흔히 이 성질을 만족하는 점의 자취라고 불린다. 이러한 표현에서 단수형을 사용하는 것은 19세기 말까지 수학자들이 무한 집합을 고려하지 않았음을 보여주는 증거이다. 그들은 직선과 곡선을 점들의 집합으로 보는 대신, 점이 위치하거나 움직일 수 있는 장소로 보았다.

역사와 철학

20세기 초까지 기하학적 도형(예를 들어 곡선)은 점들의 무한 집합으로 간주되지 않았다. 대신 점이 위치하거나 그 위에서 움직일 수 있는 실체로 간주되었다. 따라서 유클리드 평면에서의 원은 고정된 점인 원의 중심으로부터 주어진 거리에 있는 점의 자취로 정의되었다. 현대 수학에서는 유사한 개념들이 도형을 집합으로 묘사함으로써 더 자주 재구성된다. 예를 들어, 원은 중심으로부터 주어진 거리에 있는 점들의 집합이라고 말한다.^[3]

집합론적 관점과 대조적으로, 옛 방식의 정식화는 무한한 모음을 고려하는 것을 피하는데, 이는 실제적 무한을 피하는 것이 초기 수학자들의 중요한 철학적 입장이었기 때문이다.^[4]^[5]

집합론이 수학 전체가 구축되는 보편적인 토대가 된 이후에는,^[6] 자취라는 용어는 다소 구식처럼 보이게 되었다.^[7] 그럼에도 불구하고 이 단어는 여전히 널리 사용되며, 주로 다음과 같이 간결한 정식화를 위해 쓰인다.

임계 자취(Critical locus): 미분 가능 함수의 임계점들의 집합.
제로 자취(Zero locus) 또는 소멸 자취(vanishing locus): 함수가 소멸하는, 즉 값 0을 갖는 점들의 집합.
특이 자취(Singular locus): 대수다양체의 특이점들의 집합.
연결 자취(Connectedness locus): 함수의 쥘리아 집합이 연결되어 있는 유리 함수 군의 매개변수 집합의 부분집합.

보다 최근에는 스킴 이론과 같은 기술들과 수학의 토대를 제공하기 위해 집합론 대신 범주론을 사용하는 방식이 도입되면서, 자취를 점들의 집합보다는 그 자체로서의 객체로 보는 원래의 정의와 더 유사한 개념으로 회귀하였다.^[5]

평면 기하학의 예시

평면 기하학의 예시는 다음과 같다.

두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 두 점을 잇는 선분의 수직 이등분선이다.^[8]
교차하는 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 두 각의 이등분선의 합집합이다.
모든 원뿔 곡선은 자취이다:^[9]
- 원: 고정된 점(중심)으로부터 일정한 거리(반지름)에 있는 점들의 집합.
- 포물선: 고정된 점(초점)과 직선(준선)으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합.
- 쌍곡선: 주어진 두 초점까지의 거리의 차의 절대값이 일정한 점들의 집합.
- 타원: 주어진 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합.

다른 자취의 예시들은 수학의 다양한 분야에서 나타난다. 예를 들어, 복소역학에서 망델브로 집합은 다항식 사상 군의 연결 자취로 특징지어질 수 있는 복소평면의 부분집합이다.

자취의 증명

어떤 기하학적 도형이 주어진 조건 세트에 대한 올바른 자취임을 증명하기 위해, 일반적으로 증명을 두 단계로 나눈다. 즉, 조건을 만족하는 모든 점이 주어진 도형 위에 있다는 증명과, 주어진 도형 위의 모든 점이 조건을 만족한다는 증명이다.^[10]

예시

첫 번째 예시

두 주어진 점에 대해 주어진 거리의 비 k = d₁/d₂를 갖는 점 P의 자취를 구하라.

이 예시에서는 k = 3이고, A(−1, 0)과 B(0, 2)가 고정된 점으로 선택되었다.

P(x, y)가 자취의 점이다.

\Leftrightarrow |PA|=3|PB|

\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}

\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}

\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0

\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.

이 방정식은 중심이 (1/8, 9/4)이고 반지름이 ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ 인 원을 나타낸다. 이것은 k, A, B의 값들에 의해 정의된 아폴로니오스의 원이다.

두 번째 예시

삼각형 ABC가 길이가 c인 고정된 변 [AB]를 가진다. A와 C에서 그은 중선들이 수직이 되도록 하는 세 번째 꼭짓점 C의 자취를 결정하라.

A(−c/2, 0), B(c/2, 0)이 되도록 직교 좌표계를 선택한다. C(x, y)는 가변적인 세 번째 꼭짓점이다. [BC]의 중심은 M((2x + c)/4, y/2)이다. C에서 그은 중선의 기울기는 y/x이다. 중선 AM의 기울기는 2y/(2x + 3c)이다.

C(x, y)가 자취의 점이다.

\Leftrightarrow

A와 C에서 그은 중선들이 수직이다.

\Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1

\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0

\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.

꼭짓점 C의 자취는 중심이 (−3c/4, 0)이고 반지름이 3c/4인 원이다.

세 번째 예시

자취는 하나의 공통된 매개변수에 의존하는 두 개의 연관된 곡선에 의해서도 정의될 수 있다. 매개변수가 변하면, 연관된 곡선들의 교점들이 자취를 그린다.

그림에서 점 K와 L은 주어진 직선 m 위의 고정된 점들이다. 직선 k는 K를 지나는 가변 직선이다. L을 지나는 직선 l은 k에 수직이다. k와 m 사이의 각 $\alpha$ 가 매개변수이다. k와 l은 공통 매개변수에 의존하는 연관된 직선들이다. k와 l의 가변 교점 S는 원을 그린다. 이 원은 두 연관된 직선의 교점의 자취이다.

네 번째 예시

점들의 자취가 (원, 직선 등과 같이) 반드시 1차원일 필요는 없다. 예를 들어,^[1] 부등식 $2x + 3y - 6 < 0$ 의 자취는 방정식 $2x + 3y - 6 = 0$ 인 직선의 아래쪽에 있는 평면의 부분이다.

같이 보기

각주

1 2 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), 《Mathematics Dictionary》, Springer, 255쪽, ISBN 978-0-412-99041-0 .
↑ Whitehead, Alfred North (1911), 《An Introduction to Mathematics》, H. Holt, 121쪽, ISBN 978-1-103-19784-2 .
↑ Cooke, Roger L. (2012), 〈38.3 Topology〉 3판, 《The History of Mathematics: A Brief Course》, John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.
↑ Bourbaki, N. (2013), 《Elements of the History of Mathematics》, 번역 J. Meldrum, Springer, 26쪽, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity' .
1 2 Borovik, Alexandre (2010), 〈6.2.4 Can one live without actual infinity?〉, 《Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice》, American Mathematical Society, 124쪽, ISBN 9780821847619 .
↑ Mayberry, John P. (2000), 《The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets》, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 82, Cambridge University Press, 7쪽, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics .
↑ Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), 《Combinatorics and Geometry, Part 1》, Handbook of Applicable Mathematics 5, Wiley, 32쪽, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term .
↑ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
↑ Hamilton, Henry Parr (1834), 《An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students》, Springer .
↑ G. P. West, The new geometry: form 1.

외부 링크

위키낱말사전에 자취 관련 글이 있습니다.

[James-1] 1 2 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), 《Mathematics Dictionary》, Springer, 255쪽, ISBN 978-0-412-99041-0 .

[2] Whitehead, Alfred North (1911), 《An Introduction to Mathematics》, H. Holt, 121쪽, ISBN 978-1-103-19784-2 .

[3] Cooke, Roger L. (2012), 〈38.3 Topology〉 3판, 《The History of Mathematics: A Brief Course》, John Wiley & Sons, ISBN 9781118460290, The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.

[4] Bourbaki, N. (2013), 《Elements of the History of Mathematics》, 번역 J. Meldrum, Springer, 26쪽, ISBN 9783642616938, the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity' .

[microscope-5] 1 2 Borovik, Alexandre (2010), 〈6.2.4 Can one live without actual infinity?〉, 《Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice》, American Mathematical Society, 124쪽, ISBN 9780821847619 .

[6] Mayberry, John P. (2000), 《The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets》, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 82, Cambridge University Press, 7쪽, ISBN 9780521770347, set theory provides the foundations for all mathematics .

[7] Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), 《Combinatorics and Geometry, Part 1》, Handbook of Applicable Mathematics 5, Wiley, 32쪽, ISBN 9780471900238, We begin by explaining a slightly old-fashioned term .

[8] George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

[9] Hamilton, Henry Parr (1834), 《An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students》, Springer .

[10] G. P. West, The new geometry: form 1.

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