클리퍼드 대수: 두 판 사이의 차이
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'''클리퍼드 대수'''({{llang|en|Clifford algebra}})는 [[결합 대수]]의 한 종류이다. 이것은 [[복소수]]나 [[사원수]]의 추상화 중 하나로 볼 수가 있으며 [[직교변형]]과 [[이차 형식]]들을 연결한 수학적 이론이다. 이것은 [[기하학]]적 문제와 [[이론물리학]]에 응용된다. |
[[수학]]에서, '''클리퍼드 대수'''(Clifford代數, {{llang|en|Clifford algebra}})는 [[결합 대수]]의 한 종류이다. 이것은 [[복소수]]나 [[사원수]]의 추상화 중 하나로 볼 수가 있으며 [[직교변형]]과 [[이차 형식]]들을 연결한 수학적 이론이다. 이것은 [[기하학]]적 문제와 [[이론물리학]]에 응용된다. |
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== 정의 == |
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<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]이고, <math>V</math>가 <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]이라고 하고, <math>Q\colon V\to K</math>가 [[이차 형식]]이라고 하자. 그렇다면 '''클리퍼드 대수''' <math>\operatorname{Cl}(V,Q)</math>는 다음 공리를 만족시키는, <math>V</math>를 포함하는 가장 일반적인 일반적인 단위원을 갖춘 <math>K</math>에 대한 [[결합 대수]]다. |
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]이고, <math>V</math>가 <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]]이라고 하고, <math>Q\colon V\to K</math>가 [[이차 형식]]이라고 하자. 그렇다면 '''클리퍼드 대수''' <math>\operatorname{Cl}(V,Q)</math>는 다음 공리를 만족시키는, <math>V</math>를 포함하는 가장 일반적인 일반적인 단위원을 갖춘 <math>K</math>에 대한 [[결합 대수]]다. |
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:<math>v^2=Q(v)\forall v\in V</math> |
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즉, [[범주론]]적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 [[보편 성질]] |
즉, [[범주론]]적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다. |
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<math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]들의 범주 <math>\operatorname{uAssocAlg}_K</math>에서, <math>j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V</math>를 만족시키는 임의의 대수 <math>(A,j\colon V\to A)</math>가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 [[준동형]] <math>f\colon\operatorname{Cl}(V,Q)\to A</math>가 존재한다. |
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&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!f\\ |
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여기서 <math>i\colon V\to\operatorname{Cl}(V,Q)</math>는 보통 생략한다. |
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== 성질 == |
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<math>V</math>가 유한 차원 [[벡터 공간]]이고, 그 차원이 <math>n</math>이라고 하자. 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cl}(V,Q)</math>는 <math>2^n</math>차원 [[벡터 공간]]이다. <math>\{e_i\}_{i=1,\dots,n}</math>이 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학|기저]]라고 하자. 그렇다면 <math>\operatorname{Cl}(V,Q)</math>의 [[기저 (선형대수학|기저]]는 다음과 같이 주어진다. |
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:<math>\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le n\}</math> 이에 따라, 클리퍼드 대수는 <math>\mathbb Z/2</math> [[등급환| |
:<math>\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le n\}</math> 이에 따라, 클리퍼드 대수는 <math>\mathbb Z/2</math> [[등급환|등급 대수]]를 이룬다. 즉, <math>k</math>가 짝수인 경우는 등급이 +1, 홀수인 경우는 등급이 −1이다. |
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클리퍼드 대수는 다음과 같은 |
클리퍼드 대수는 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다. 임의의 <math>a,b\in\operatorname{Cl}(V,Q)</math>에 대하여, |
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여기서 <math>\deg a\in\mathbb Z/2</math>는 클리퍼드 대수의 원소의 등급이다. |
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:<math>\operatorname{Cl}_{p,q+2}(\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes\operatorname{Cl}_{q,p}(\mathbb R)</math> |
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이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다. |
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다. |
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== 클리퍼드 해석학 == |
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== 역사 == |
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== 참고 문헌 == |
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{{각주}} |
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* {{서적 인용| 제목= Clifford |
* {{서적 인용| 제목= Clifford algebras: an introduction | 출판사= Cambridge University Press | 위치=Cambridge|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=78|날짜=2011-07|isbn=978-1-1070-9638-7|이름=D. J. H.|성=Garling|doi=10.1017/CBO9780511972997|언어=en}} |
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* {{서적 인용 | last=Lounesto | first=Pertti | title=Clifford algebras and spinors | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-00551-7 | 날짜=2001-05|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|권=286|판=2판|doi=10.1017/CBO9780511526022}} |
* {{서적 인용 | last=Lounesto | first=Pertti | title=Clifford algebras and spinors | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-00551-7 | 날짜=2001-05|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|권=286|판=2판|doi=10.1017/CBO9780511526022|언어=en}} |
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* {{서적 인용 | last=Porteous | first=Ian R. | title=Clifford algebras and the classical groups | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-55177-9 | 날짜=1995-10|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=50|doi=10.1017/CBO9780511470912}} |
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* {{서적 인용 | last=Lawson | first=H. Blaine | |
* {{서적 인용 | last=Lawson | first=H. Blaine | 이름2=Marie-Louise |성2=Michelsohn | title=Spin Geometry | publisher=Princeton University Press | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08542-5 | 날짜=1989|언어=en}} |
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* {{서적 인용 | first=Ramaswamy | last=Jagannathan | arxiv=1005.4300 | 장=On generalized Clifford algebras and their physical applications|날짜=2010|doi=10.1007/978-1-4419-6263-8_28|제목=The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the Mathematical Sciences|출판사=Springer|isbn=978-1-4419-6262-1|쪽=465–489}} |
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* {{서적 인용|제목=Geometric (Clifford) algebra and its applications|이름=Douglas|성=Lundholm|기타=석사 학위 논문|arxiv=math/0605280|bibcode=2006math......5280L|출판사=[[왕립 공과대학교]]|날짜=2006-01|issn=1401-2278}} |
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* {{저널 인용|제목=Clifford algebra, geometric algebra, and applications|이름=Douglas|성=Lundholm|공저자=Lars Svensson|arxiv=0907.5356|bibcode=2009arXiv0907.5356L|날짜=2009-07}} |
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** {{서적 인용|장=Introductory Clifford analysis|이름=John|성=Ryan|arxiv=math/0303339|날짜=2003|제목=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications|editor1-last= Ablamowicz|editor1-first= Rafal|editor2-last= Sobczyk|editor2-first= Garret|doi=10.1007/978-0-8176-8190-6_3|isbn=978-0-8176-3257-1|쪽=53–89|출판사=Birkhäuser|언어=en}} |
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** {{서적 인용|장=Applications of Clifford Algebras in Physics|이름=William E.|성=Baylis|날짜=2003|제목=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications|editor1-last= Ablamowicz|editor1-first= Rafal|editor2-last= Sobczyk|editor2-first= Garret|doi=10.1007/978-0-8176-8190-6_4|isbn=978-0-8176-3257-1|쪽=91–133|출판사=Birkhäuser|장url=http://web4.uwindsor.ca/users/b/baylis/main.nsf/9d019077a3c4f6768525698a00593654/e639e0cdf0d162c985256bb2004c8fde/$FILE/cainphys.pdf|언어=en}} |
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== 같이 보기 == |
== 같이 보기 == |
2016년 3월 16일 (수) 08:00 판
수학에서, 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 결합 대수의 한 종류이다. 이것은 복소수나 사원수의 추상화 중 하나로 볼 수가 있으며 직교변형과 이차 형식들을 연결한 수학적 이론이다. 이것은 기하학적 문제와 이론물리학에 응용된다.
정의
가 체이고, 가 에 대한 벡터 공간이라고 하고, 가 이차 형식이라고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 는 다음 공리를 만족시키는, 를 포함하는 가장 일반적인 일반적인 단위원을 갖춘 에 대한 결합 대수다.
즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 위의 단위 결합 대수들의 범주 에서, 를 만족시키는 임의의 대수 가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 가 존재한다.
여기서 는 보통 생략한다.
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
여기서 는 에 대한 텐서 대수
이고, 는 에 의하여 생성되는 아이디얼이다.
성질
가 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 이라고 하자. 클리퍼드 대수 는 차원 벡터 공간이다. 이 의 기저라고 하자. 그렇다면 의 기저는 다음과 같이 주어진다.
- 이에 따라, 클리퍼드 대수는 등급 대수를 이룬다. 즉, 가 짝수인 경우는 등급이 +1, 홀수인 경우는 등급이 −1이다.
클리퍼드 대수는 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다. 임의의 에 대하여,
여기서 는 클리퍼드 대수의 원소의 등급이다.
만약 인 경우, 클리퍼트 대수는 외대수 와 동형이다.
분류
복소 클리퍼드 대수
가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰자. 낮은 차원의 복소 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
또한, 다음과 같은 보트 주기성이 존재한다.
따라서 모든 복소 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.
실수 클리퍼드 대수
가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, 가 부호수가 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
또한, 다음이 성립한다.
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.
클리퍼드 해석학
역사
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다.[1][2]
참고 문헌
- ↑ Clifford, W. K. “On the classification of geometric algebras” (영어). (미출판 원고).
- ↑ Clifford, W. K. (1878). “Applications of Grassmann’s extensive algebra”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 1 (4): 350–358. doi:10.2307/2369379. ISSN 0002-9327. JSTOR 2369379.
- Garling, D. J. H. (2011년 7월). 《Clifford algebras: an introduction》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 78. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511972997. ISBN 978-1-1070-9638-7.
- Lounesto, Pertti (2001년 5월). 《Clifford algebras and spinors》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 286 2판. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526022. ISBN 978-0-521-00551-7.
- Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 50. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9.
- Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). 《Spin Geometry》 (영어). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.
- Jagannathan, Ramaswamy (2010). 〈On generalized Clifford algebras and their physical applications〉. 《The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the Mathematical Sciences》 (영어). Springer. 465–489쪽. arXiv:1005.4300. doi:10.1007/978-1-4419-6263-8_28. ISBN 978-1-4419-6262-1.
- Lundholm, Douglas (2006년 1월). 《Geometric (Clifford) algebra and its applications》 (영어). 석사 학위 논문. 왕립 공과대학교. arXiv:math/0605280. Bibcode:2006math......5280L. ISSN 1401-2278.
- Lundholm, Douglas; Lars Svensson (2009년 7월). “Clifford algebra, geometric algebra, and applications” (영어). arXiv:0907.5356. Bibcode:2009arXiv0907.5356L.
- Ablamowicz, Rafal; Sobczyk, Garret (편집.). 《Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-8190-6_3. ISBN 978-0-8176-3257-1.
- Ryan, John (2003). 〈Introductory Clifford analysis〉. Ablamowicz, Rafal; Sobczyk, Garret. 《Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications》 (영어). Birkhäuser. 53–89쪽. arXiv:math/0303339. doi:10.1007/978-0-8176-8190-6_3. ISBN 978-0-8176-3257-1.
- Baylis, William E. (2003). 〈Applications of Clifford Algebras in Physics〉 (PDF). Ablamowicz, Rafal; Sobczyk, Garret. 《Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications》 (영어). Birkhäuser. 91–133쪽. doi:10.1007/978-0-8176-8190-6_4. ISBN 978-0-8176-3257-1.