5차원 회전군

리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의[편집]

단순 리 대수의 분류에서, ${\mathsf {B}}_{2}={\mathsf {C}}_{2}$ 형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

\bullet \Rightarrow \bullet

에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 $\operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )$ 및 그 스핀 군 $\operatorname {Spin} (5)$ 의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

\operatorname {SO} (1,4)

(5차원 로런츠 군)

\operatorname {SO} (2,3)

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은

\operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)

이며, 마찬가지로 분할 형태

\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )

가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	$\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )$	$\operatorname {Cyc} (2)$	0	$\bullet \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \circ$	단일 연결 콤팩트 형태
(0,10)	B₂, C₂	SO(5)	$\operatorname {PUSp} (4)=\operatorname {PU} (2;\mathbb {H} )$	0	$\operatorname {Cyc} (2)$	$\bullet \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \circ$	무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	$\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )$	$\operatorname {Cyc} (2)$	$\operatorname {Cyc} (\infty )$	$\circ \Rightarrow \circ$	$\bullet \Rightarrow \circ$	분할 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	SO⁺(2,3)	$\operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )$	0	$\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (\infty )$	$\circ \Rightarrow \circ$	$\bullet \Rightarrow \circ$	무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	$\operatorname {USp} (2,2)=\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )$	$\operatorname {Cyc} (2)$	0	$\circ \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \bullet$
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	SO⁺(1,4)	$\operatorname {PUSp} (2,2)=\operatorname {PU} (1,1;\mathbb {H} )$	0	$\operatorname {Cyc} (2)$	$\circ \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \bullet$

성질[편집]

콤팩트 형태[편집]

Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 $\operatorname {USp} (4)$ 또는 $\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )$ 의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, $\operatorname {Spin} (4)=\operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )$ 는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,

\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\}

이다. (여기서 $(-)^{\dagger }$ 는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

\operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}

이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

\operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}

$\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )$ 의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}

M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)

분할 형태[편집]

Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. $\operatorname {Spin} (2,3)$ 의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 $\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )$ 의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}

J={\begin{pmatrix}0_{2\times 2}&-1_{2\times 2}\\1_{2\times 2}&0_{2\times 2}\end{pmatrix}}

에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 $\{\pm 1_{4\times 4}\}<\operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )$ 에 해당한다.

로런츠 형태[편집]

이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}

\Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}

M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)

표현론[편집]

이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

표현	SO(5) 해석	SO(5) 영 타블로	USp(4) 해석	USp(4) 영 타블로
4	스피너	■	벡터	□
5	벡터	□	무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)	□ □
10	반대칭 2-텐서 (5×4/2!)	□ □	대칭 2-텐서 (4×5/2!)	□□
14	무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)	□□	4-텐서	□□ □□
16	라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))	□■	3-텐서	□□ □