시작 대상과 끝 대상

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범주론에서, 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

정의[편집]

범주 \mathcal C의 대상 X가 주어졌다고 하자.

  • 만약 모든 Y\in\mathcal C에 대하여 \hom(X,Y)가 하나의 원소만을 갖는다면, X\mathcal C에서의 시작 대상이라고 한다.
  • 만약 모든 Y\in\mathcal C에 대하여 \hom(Y,X)가 하나의 원소만을 갖는다면, X\mathcal C에서의 끝 대상이라고 한다.
  • 만약 X\mathcal C에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, X\mathcal C에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.

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범주 시작 대상 끝 대상
집합의 범주 \operatorname{Set} 공집합 \varnothing 하나의 원소를 갖는 집합 \{\bullet\}
위상공간의 범주 \operatorname{Top} 공공간 \varnothing 하나의 점을 갖는 공간 \{\bullet\}
위상공간호모토피 범주 \operatorname{hTop} 공공간 \varnothing 하나의 점을 갖는 공간 \{\bullet\}
작은 범주의 범주 \operatorname{Cat} 공범주 0 하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 \mathbf1
의 범주 \operatorname{Grp} 자명군 1
(단위원을 갖는) 의 범주 정수환 \mathbb Z 자명환 0
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 \operatorname{CRing} 정수환 \mathbb Z 자명환 0
유사환의 범주 \operatorname{Rng} 자명환 0
아핀 스킴의 범주 \operatorname{Aff}\simeq\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}} 자명환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}0=\varnothing 정수환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}\mathbb Z
스킴의 범주 \operatorname{Sch} 자명환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}0=\varnothing 정수환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}\mathbb Z
의 범주 \operatorname{Field} (없음)
범주로 간주한 부분순서집합 (\hom(a,b)\ne\varnothing\iff a\le b) 최소 원소 최대 원소
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드 (없음)
하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 1=\{\bullet\} 유일한 대상 \bullet

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]