마타이-퀼런 형식

미분기하학과 이론물리학에서 마타이-퀼런 형식(മത്തായി-Quillen形式, 영어: Mathai–Quillen form)은 벡터 다발의 톰 특성류를 표현하는 미분 형식이며, 벡터 다발의 올 방향으로 가우스 함수를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 위상 양자장론과 깊은 관계를 가진다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• (유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체 $M$
• (유한 차원) 콤팩트 리 군 $G$
• $G$-주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$
• 유한 짝수 차원 실수 내적 공간 $(F,\langle -,-\rangle )$
• $G$의 유한 짝수 차원 직교 표현 $\rho \colon G\to \operatorname {O} (F)$.
  • 이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발 $F\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M$을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 양의 정부호 내적이 주어진다.
• $P$ 위의 주접속 $\nabla$
  • 이로부터 $E$의 단면에 대해서도 벡터 다발 접속이 주어진다.

그렇다면, $P\times F$ 위에 다음과 같은 미분 형식을 정의하자.

$\Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{2m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}B\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B])$

$S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B]=-B^{i}B_{i}/2+i\xi ^{i}B_{i}-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2$

여기서

• $i,j,\dotsc$는 $F$의 벡터 지표이다. 이는 $F$의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다.
• $\rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\in \operatorname {End} (F)$는 주접속 $\nabla$의 주곡률 $\Omega _{\nabla }$의 $\rho$에 의한 표현이다.
• $(\xi ^{1},\dotsc ,\xi ^{2m})$은 $F$ 위의 데카르트 좌표계를 이룬다. 이들의 공변 미분 $\nabla \xi ^{i}$는 $P\times F$ 위의 $G$-불변 1차 미분 형식들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는 $P\times _{G}F=E$ 위의 1차 미분 형식을 이룬다.
• $\textstyle \int \mathrm {d} ^{2m}\chi$는 $2m$개의 형식적 반가환 변수 $\chi ^{1},\dotsc ,\chi ^{2m}$에 대한 베레진 적분이다. 변수 $\chi ^{i}$는 홀수차 (가환) 미분 형식과 반가환한다.
• $\chi ^{i}\rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\chi ^{j}+\mathrm {i} \chi _{i}\nabla \xi ^{i}$은 $P\times F$ 위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) 지수 함수는 미분 형식 쐐기곱에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이 $2m$인 항만을 골라낸다.
• $\textstyle \int \mathrm {d} B$는 스칼라 보조장 $B$에 대한 적분이다.

즉, 다음과 같다.

기호	설명	$G\leq \operatorname {O} (F)$에 대한 변환	가환성	$P\times F$ 위의 미분 형식 차수
$\xi ^{i}$	데카르트 좌표	기본 표현	가환	0
$\nabla \xi ^{i}$	데카르트 좌표	기본 표현	가환	1
$\chi _{i}$	형식적 그라스만 변수	(쌍대) 기본 표현	반가환	0
$\rho _{ij}(\Omega _{\nabla })$	주곡률	딸림표현	가환	2
$B_{i}$	보조장	기본 표현	가환	0

보조장 $B$에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다.

$\Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }])$

$S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }]=-\xi _{i}\xi ^{j}/2-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2$

이 작용은 초대칭

$\delta \chi _{i}=B_{i}$

$\delta \xi _{i}=\nabla \xi _{i}$

$\delta B^{i}=\Omega ^{ij}\chi _{j}$

을 가지며, 이에 따라

$S=\delta (\chi _{i}(\mathrm {i} \xi ^{i}-B^{i}/2))$

이다.

베레진 적분에 의하여, $\Phi _{\nabla }(E)$는 $P\times F$ 위의 $2m$차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는 $G$-불변이므로, 연관 벡터 다발 $E=P\times _{G}F$ 위의 $2m$차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 초대칭 $\delta$에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 마타이-퀼런 형식이라고 한다.

무한 차원에서는 $m$ 등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 양자장론의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.

성질

만약 $X$가 유한 차원 매끄러운 다양체일 때, $s$의 마타이-퀼런 형식

$\Phi _{\nabla }(E)\in \Omega ^{2m}(E)$

의 드람 코호몰로지 동치류

$[\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}\in \operatorname {H} ^{2m}(E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$

는 $E$의 오일러 특성류

$\operatorname {e} (E)\in \operatorname {H} ^{2m}$

의 실수 계수와 같다.

$(\operatorname {e} (E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} )=[\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}$

특히, 이는 사용한 단면 $s\colon M\to E$에 의존하지 않는다.

그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로 $s$에 의존하게 된다.

예

초대칭 양자 역학 (드람 코호몰로지)

다음과 같은 경우를 생각하자.

• $(M,g)$는 $n$차원 유한 차원 콤팩트 리만 다양체이다.
• $\mathbb {S} _{\beta }^{1}=[0,\beta ]/(0\sim \beta )$는 둘레가 $\beta \in \mathbb {R} ^{+}$인 원이다.
• $X=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} _{\beta }^{1},M)$는 유한 에너지 고리들로 구성된 소볼레프 공간이다. 이는 힐베르트 다양체이며, $M$의 고리 공간(과 호모토피 동치)이다. 즉, 가측 함수 $f\colon \mathbb {S} ^{1}\to M$ 가운데, 미분 ${\dot {f}}$가 거의 어디서나 존재하며, L² 르베그 공간에 속하는 것들로 구성된다.
• $G$는 직교군 $\operatorname {O} (n)$에 대한 게이지 군 $\{\phi \colon M\to \operatorname {O} (n)\}$이며, $P$는 리만 다양체 $M$의 틀다발로서 유도된다.
• $F=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})$이며, $\rho$는 함수의 합성으로 정의된다. 이에 따라, $E=P\times _{G}F=\mathrm {T} X$는 그 접다발이다.
• 단면 $s\colon X\to E$는 속력 $\gamma \mapsto {\dot {\gamma }}$이다. 그 영점은 상수 함수 고리들의 공간이다.

이 경우,

$Z=(2\pi )^{-(\dim M)/2}\int _{M}\operatorname {Pf} (\operatorname {Riem} )=(2\pi )^{-(\dim M)/2)}\chi (M)$

을 얻는다. 이는 $\Omega (M)$의 L² 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학의 분배 함수와 일치한다.

도널드슨 이론

 이 부분의 본문은 도널드슨 이론입니다.

만약

• $X$는 어떤 4차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $G$-주다발 $P$의 주접속들의 공간이다.
• $E$는 $M$ 위의, ${\mathfrak {g}}$-값 자기 쌍대 2차 미분 형식들의 공간이다.
• $s\colon F\mapsto F+*F$는 2차 미분 형식을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다.

이에 따라, $s$의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다.

역사

마타이 바르기스(말라얄람어: മത്തായി വർഗീസ്, 영어: Mathai Varghese)와 대니얼 퀼런이 1986년에 도입하였다. 이후 마이클 아티야와 리사 제프리(영어: Lisa Jeffrey)가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론에 해당한다는 것을 증명하였다.

참고 문헌

• Blau, Matthias. “The Mathai–Quillen Formalism and Topological Field Theory” (영어). arXiv:hep-th/9203026. doi:10.1016/0393-0440(93)90049-K. 
• Wang, Zheng-Dong (1997). “Mathai–Quillen formalism — from the point of view of path integrals”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어). doi:10.1023/A:1007312606288. ISSN 0377-9017.