람다 환

가환대수학과 대수적 위상수학에서 람다 환(λ環, 영어: λ-ring)은 벡터 공간의 외대수 연산과 유사한 공리들을 만족시키는 일련의 연산들이 부여된 가환환이다.

정의

다항식 P_n, P_m,n

기본 대칭 다항식

$e_{i}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]\qquad \forall i\in \{0,1,\dots ,n\}$

$e_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{j}}$

을 정의하자.

다항식

$P_{n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

$P_{m,n}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{mn}]\qquad \forall m,n\in \mathbb {N}$

은 다음 성질에 의하여 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.^{:8, §2.1}

$\sum _{n}P_{n}\left(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {y}}),\dots ,e_{n}({\vec {y}})\right)t^{n}=\prod _{i,j=1}^{n}(1+x_{i}y_{j}t)\in \mathbb {Z} [t,{\vec {x}},{\vec {y}}]$

$\sum _{m}P_{m,n}(x_{1},\dots ,x_{mn})t^{m}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq mn}(1+x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{n}}t)\in \mathbb {Z} [t,x_{1},\dots ,x_{mn}]$

여기서 다음과 같은 약자를 사용하였다.

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$

람다 환

람다 환은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:7, Definition 2.1:§16.4:7, Definition 1.10}

• 가환환 $R$
• 각 자연수(음이 아닌 정수) $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 함수 $\lambda ^{n}\colon R\to R$. 이들을 $n$차 람다 연산(영어: $n$th λ-operation)이라고 한다.

이 함수 $\lambda ^{n}$들은 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

$\lambda ^{0}(r)=1\qquad \forall r\in R$

$\lambda ^{1}(r)=r\qquad \forall r\in R$

$\lambda ^{n}(1)=0\qquad \forall n\geq 2$

(합의 람다 연산) $\lambda ^{n}(r+s)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(r)\lambda ^{j}(s)\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N}$

(곱의 람다 연산) $\lambda ^{n}(rs)=P_{n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{n}(r),\lambda ^{1}(s),\dots ,\lambda ^{n}(s))\qquad \forall r,s\in R,\;n\in \mathbb {N}$

(람다 연산의 합성) $\lambda ^{m}(\lambda ^{n}(r))=P_{m,n}(\lambda ^{1}(r),\dots ,\lambda ^{mn}(r))\qquad \forall r\in R\;n\in \mathbb {N}$

람다 환의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 람다 환 $R$, $R'$ 사이의 준동형은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, 환 준동형 $f\colon R\to R'$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.^{:§16.4:10, Definition 1.25}

$f(\lambda ^{n}(r))=\lambda ^{n}(f(r))\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N}$

람다 환과 람다 환 준동형은 범주 $\lambda {\text{-Ring}}$를 이룬다.

애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산을 위상 K군으로부터 임의의 람다 환에 대하여 일반화할 수 있다.^:§2.2

람다 환 $R$에 대하여, 람다 연산의 생성 함수를 정의하자.^{:(16.10):7, (1.7)}

$\lambda _{t}(r)=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]$

그렇다면, $R$ 위의 애덤스 연산

$\Psi ^{n}\colon R\to R\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}$

$\Psi _{t}(r)=\sum _{i=1}^{\infty }\Psi ^{i}(r)t^{i}\in R[[t]]$

은 다음과 같다.^:§16.20

$\Psi _{t}(r)=-t{\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\ln \left(\lambda _{-t}(r)\right)\qquad \forall r\in R$

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의할 수도 있다.

성질

람다 환 $R$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $\lambda _{t}\colon (R,+)\to R[[t]]^{\times }$는 아벨 군의 준동형을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.^{:7, Proposition 1.13}

  $\lambda _{t}(r+s)=\lambda _{t}(r)\lambda _{t}(s)\qquad \forall r,s\in R$

  $\lambda _{t}(0)=1$

  $\lambda _{t}(-r)=\lambda _{t}(r)^{-1}\qquad \forall r\in R$

• 정수 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, $\lambda _{t}(n)=(1+t)^{n}$이다.

범주론적 성질

람다 환의 범주에서 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$로 가는 망각 함자

$F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing}$

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.^:§16.1

$S\dashv F\dashv \Lambda$

여기서

• 함자 $S\colon \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}$는 자유 람다 환(영어: free λ-ring) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
• 함자 $\Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}$는 가환환 $R$를 $1+xR[[x]]$ 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

예

이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환 $R$를 이항환(二項環, 영어: binomial ring)이라고 한다.

• 덧셈군 $(R,+)$의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 $\iota \colon R\to R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$는 단사 함수이다.
• 모든 이항 계수 $\textstyle {\binom {r}{n}}\;(r\in R)$를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 $r\in R$ 및 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\iota (s)=\textstyle {\binom {r}{n}}=r(r-1)\cdots (r-n+1)/n!\in R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$가 되는 $s\in R$가 (유일하게) 존재한다.

이항환 $R$ 위에 $\lambda ^{n}(k)=\textstyle {\binom {k}{n}}$을 정의한다면, 이는 람다 환을 이룬다.^{:Theorem 5.3} 예를 들어, (한원소 공간 위의 위상 K군인^{:9, Example 1.16}) 정수환 $\mathbb {Z} \cong \operatorname {K} ^{0}(\{\bullet \})$는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.^{:6, §1.2.1}

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.

비트 벡터

 이 부분의 본문은 비트 벡터입니다.

가환환 $R$ 위의 형식적 멱급수환 $R[[x]]$ 속의, $x^{0}$항의 계수가 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

$\Lambda (R)=1+xR[[x]]\subseteq R[[x]]$

을 생각하자. 이는 $R[[x]]$-곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

$\Lambda (R)$ 위에 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 부여할 수 있다.^{:7, §2:§9.1}

• $\Lambda (R)$의 덧셈은 $R[[x]]$의 곱셈이다.
• $\Lambda (R)$의 곱셈은 다음과 같다.^:§9.15

  $(1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )\cdot (1+s_{1}x+s_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{n}(r_{1},\dots ,r_{n},s_{1},\dots ,s_{n})x^{n}$

• $\Lambda (R)$의 람다 연산은 다음과 같다.^:(16.8)

  $\lambda ^{n}(1+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots )=1+\sum _{m=1}^{\infty }P_{m,n}(r_{1},\dots ,r_{mn})t^{m}$

이 환은 $R$ 계수의 (큰) 비트 벡터 환 $\operatorname {WittVector} (R)$과 동형이다. 비트 벡터는 통상적으로 $R^{\mathbb {Z} ^{+}}$ 위에 비트 다항식들을 통해 주어지는 특별한 가환환 구조로 정의된다. 이 경우

$\operatorname {WittVector} (R)\to \Lambda (R)$

$(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto {\frac {1}{(1-x_{1}t)(1-x_{2}t^{2})\cdots }}\in \mathbb {R} [[t]]$

는 환의 동형을 정의한다.^{:(9.22):Theorem 4.16} 이를 아르틴-하세 지수 함수(영어: Artin–Hasse exponential map)라고 한다.

이는 함자

$\Lambda \colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}$

를 정의하며, 이는 망각 함자

$F\colon \lambda {\text{-Ring}}\to \operatorname {CRing}$

의 오른쪽 수반 함자이다.

$F\dashv \Lambda$

대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )$의 형식적 멱급수환 $Z[[{\vec {x}}]]$을 생각하자. $Z[[{\vec {x}}]]$의 원소는 유한 또는 무한 개의 항들의 합이며, 각 항은 유한 개의 변수 $x_{i}$들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots )$의 대칭 다항식 $p\in Z[[{\vec {x}}]]$은 다음 두 조건을 만족시키는 형식적 멱급수이다.^{:§2.2:(9.38), (9.39)}

• 임의의 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})$에 대하여 $p(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots )=p(x_{1},x_{2},\dots )$이다. (여기서 $\operatorname {Sym} (\mathbb {Z} ^{+})$는 양의 정수의 집합 위의 대칭군이다.)
• $p$에 속하는 항들의 계수의 집합은 유계 집합이다 (즉, 상계를 갖는다).

대칭 다항식들의 집합은 $\mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]$의 부분환을 이루며, 그 모든 원소는 기본 대칭 다항식

$e_{i}({\vec {x}})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{i}}x_{j_{1}}x_{j_{2}}\cdots x_{j_{i}}\in \mathbb {Z} [[{\vec {x}}]]$

들의 유한 곱들의 유한 합으로 나타낼 수 있다. 즉, 이 환을 $\mathbb {Z} [e_{0}({\vec {x}}),e_{1}({\vec {x}}),\dots ,]$로 표기할 수 있다.

그 위에 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.^:§16.65

$\lambda ^{m}\colon e_{n}({\vec {x}})\mapsto P_{m,n}(e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{mn}({\vec {x}}))$

그렇다면, $\mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]$는 1변수 정수 계수 다항식환 $\mathbb {Z} [e]$ 위의 자유 람다 환이다.^{:Theorem 2.1:Theorem 16.74} 즉, 자유 람다 환 함자 $S\colon \operatorname {CRing} \to \lambda {\text{-Ring}}$ 함자 아래 $\mathbb {Z} [e]$의 상이다. 또한, $S$ 아래 임의의 환 준동형

$f\colon \mathbb {Z} [e]\to R$

$f\colon e\mapsto f(e)\in R$

의 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이다.

$Sf\colon \mathbb {Z} [e_{1}({\vec {x}}),\dots ,e_{n}({\vec {x}})]\to R$

$Sf\colon e_{n}\mapsto \lambda ^{n}(f(e))$

위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 위상 K군 $\operatorname {K} _{K}^{0}(X)$는 람다 환을 이룬다.^{:9, Example 1.16} 이 경우 $\lambda ^{n}$은 벡터 다발 위의 외대수 $\lambda ^{n}[E]=[\Lambda ^{n}(E;K)]$이다.

표현환

유한군 $G$ 위의 체 $K$ 계수 표현환 $\operatorname {Repr} (G;K)$ (군의 유한 차원 $K$-벡터 공간 표현들의 반환의 그로텐디크 구성)은 람다 환을 이룬다.^{:9, Example 1.17} 이 경우, $\lambda ^{n}$은 군의 표현의 외대수이다.

$\lambda [r-r']=\lambda (r^{\wedge n}-r'^{\wedge n})\qquad (r\colon G\to V,\;r'\colon G\to V',\;r^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V,\;r'^{\wedge n}\colon G\to \Lambda ^{n}V$

역사

알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.^:§16.1

역사적으로, $P_{n}$ 및 $P_{m,n}$으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(영어: special λ-ring)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.^:§16.1

외부 링크

• “Lambda-ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lambda-ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Special lambda-ring”. 《nLab》 (영어). 
• Sam, Steven (2009년 7월 23일). “Lambda-rings”. 《Concrete Nonsense》 (영어).