그로텐디크 스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 그로텐디크 스펙트럼 열(Grothendieck spectrum列, 영어: Grothendieck spectral sequence)은 두 왼쪽 완전 함자의 합성 함자의 오른쪽 유도 함자를 각 왼쪽 완전 함자의 오른쪽 유도 함자들로 나타내는 스펙트럼 열이다. 즉, 유도 함자에 대한 일종의 연쇄 법칙이다.

정의

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ 사이의 $\operatorname {Ab}$-풍성한 왼쪽 완전 함자 $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. $F$-비순환 대상(영어: acyclic object)은 다음 조건을 만족시키는 대상 $A\in {\mathcal {A}}$이다.

$\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {R} ^{i}F(A)=0$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 아벨 범주 ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}},{\mathcal {C}}$
• 왼쪽 완전 함자 $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$, $G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {A}}$의 대상 $A\in {\mathcal {A}}$

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\mathcal {A}}$와 ${\mathcal {B}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
• $F$는 $F$-비순환 대상을 $G$-비순환 대상으로 대응시킨다.
• $A$는 $F$-비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면, $A$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 $E_{\bullet }^{\bullet \bullet }$은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

$E_{2}^{pq}=(\operatorname {R} ^{p}G\circ \operatorname {R} ^{q}F)(A)$

이 스펙트럼 열은 합성 함자의 $G\circ F$의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

$E_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {R} ^{p+q}(G\circ F)(A)$

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며, $A$와 $F(A)$의 단사 분해에 의존한다.

유도 범주와의 관계

유도 범주 대신 유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

$\operatorname {R} (G\circ F)\Rightarrow \operatorname {R} G\circ \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} ({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {C}})$

이 존재한다.^{:59, Proposition I.5.4} 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.^:60

성질

함자 $F$, $G$에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.

$0\to (\operatorname {R} ^{1}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{1}(G\circ F))(A)\to (G\circ \operatorname {R} ^{1}F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}G\circ F)(A)\to (\operatorname {R} ^{2}(G\circ F))(A)$

예

르레 스펙트럼 열

 이 부분의 본문은 르레 스펙트럼 열입니다.

르레 스펙트럼 열(영어: Leray spectral sequence)은 다음과 같은 두 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.

$\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab}$

여기서 $f_{*}$는 위상 공간 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 의하여 유도되는 층의 직상이며, $\Gamma _{X}$는 층의 대역 단면 함자 (즉, 한원소 공간 위의 층 범주 $\operatorname {Sh} (\{\bullet \},\operatorname {Ab} )\simeq \operatorname {Ab}$로의 직상)이다. 층의 직상 $f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )$은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

$f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab}$

$f^{*}\dashv f_{*}$

을 가지므로, 직상 $f_{*}$은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

국소-대역 Ext 스펙트럼 열

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 두 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {F}}$, ${\mathcal {G}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

$\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}{\xrightarrow {\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)}}\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\Gamma _{X}}}\operatorname {Ab}$

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.^{:Théorème II.7.3.3}

$E_{2}^{p,q}({\mathcal {G}})=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\Gamma _{X}({\mathcal {O}}_{X})}^{p+q}\left(\Gamma _{X}({\mathcal {F}}),\Gamma _{X}({\mathcal {G}})\right)$

여기서

${\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{q}(F,-)=\operatorname {R} ^{q}\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)$

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의 $\hom _{\operatorname {Mod} _{{\mathcal {O}}_{X}}}({\mathcal {F}},-)$ 함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.) $\operatorname {Ext}$는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

밑 전환

가환환 $R$, $S$ 및 환 준동형 $f\colon R\to S$ 및 $S$ 위의 가군 $N$이 주어졌다고 하자.

그렇다면 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

$\operatorname {Mod} _{R}{\xrightarrow {\otimes _{R}S}}\operatorname {Mod} _{S}{\xrightarrow {\otimes _{S}N}}\operatorname {Mod} _{S}$

이들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 Tor 함자의 밑 전환(영어: base change)을 계산한다. 즉, $R$ 위의 가군 $M$에 대하여 다음과 같은 스펙트럼 열들이 존재한다.

$E_{2}^{p,q}(M)=\operatorname {Tor} _{p}^{S}(\operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S),N)\Rightarrow \operatorname {Tor} _{p+q}^{R}(M,N)$

만약 $S$가 $R$-평탄 가군이라면,

$\operatorname {Tor} _{q}^{R}(M,S)={\begin{cases}M\otimes _{R}S&q=0\\0&q>0\end{cases}}$

이며, 따라서 스펙트럼 열이 다음과 같이 퇴화하게 된다.

$\operatorname {Tor} _{p}^{S}(M\otimes _{R}S,N)\cong \operatorname {Tor} _{p}^{R}(M,N)$

군 코호몰로지

군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열(영어: Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence) 역시 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군 $G$와 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 및 $G$-가군 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

$\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G]}{\xrightarrow {(-)^{N}}}\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} [G/N]}{\xrightarrow {(-)^{G/N}}}\operatorname {Ab}$

여기서 $(-)^{N}$은 $N$의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군이다. 이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이라고 하며, 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{p}(G/N;\operatorname {H} ^{q}(N,M))\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(G;M)$

이에 대응하는 5항 완전열은 팽창-제한 완전열(영어: inflation–restriction exact sequence)이라고 하며, 다음과 같다.

$0\to \operatorname {H} ^{1}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{1}(G;M)\to \operatorname {H} ^{1}(N;M)^{G/N}\to \operatorname {H} ^{2}(G/N;M^{N})\to \operatorname {H} ^{2}(G;M)$

여기서 "팽창"은

$\operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(G/N;M)$

이며, "제한"은

$\operatorname {H} ^{\bullet }(G;M)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(N;M)^{G/M}$

이다.

역사

1946년에 장 르레는 스펙트럼 열의 최초의 예로 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다. 1948년에 로저 코넌트 린던(영어: Roger Conant Lyndon)은 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르는 이를 개량하였다. 이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

외부 링크

• “Grothendieck spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Base change spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Hochschild-Serre spectral sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “The Grothendieck spectral sequence”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2010년 3월 11일. 2014년 7월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 21일에 확인함. 
• “Derived functors versus spectral sequences” (영어). Math Overflow.