군환

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추상대수학에서, 군환(群環, group ring 그룹링[*])은 의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군의 구조를 가진다.

정의[편집]

G이고, R이라고 하자. 그렇다면 R을 계수로 가지는 G가군 R[G]R을 계수로 가지는 G의 원소의 유한 선형결합의 집합이다. 즉, R[G]의 원소는 다음과 같은 꼴이다.

\alpha=\sum_{g\in G}\alpha_gg (\{g\in G|f_g\ne0\}은 유한집합)

이 집합에는 다음과 같은 R-가군 구조가 존재한다.

r\alpha+s\beta=\sum_{g\in G}(r\alpha_g+s\beta_g)g (r,s\in R, \alpha,\beta\in R[G])

또한, R[G]는 다음과 같은 구조를 가진다.

\alpha\beta=\sum_{g,h\in G}\alpha(g)\beta(h)gh.

R k일 경우, 군환 k[G]벡터 공간을 이룬다. 이 경우, k[G]의 차원은 |G|이다. (이는 G가 무한군일 경우에도 하멜 차원(Hamel dimension)으로서 성립한다.)

군의 가군[편집]

G 위의 가군(G-module)은 그 정수 계수의 군환 \mathbb Z[G]가군이다. 이는 군 표현을 일반화한 개념이며, 군 코호몰로지에 쓰인다. 구체적으로, 군의 가군 (M,\rho)아벨 군 M군의 작용 \rho\colon G\times M\to M으로 이루어져 있으며, g\in G, a,b\in M에 대하여 g(a+b)=ga+gb을 만족시킨다.

바깥 고리[편집]