P진수

이 문서는 수론에 관한 것입니다. 십진법 등의 수를 표기하는 방법에 대해서는 위치 기수법 문서를 참고하십시오.

수론에서, p진수(p進數, p-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 p에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다. 보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체 Q_p는 유리수체 Q의 완비화이다. 또한 Q_p에는 p진 부치(valuation)가 주어져 있기에 거리공간이 되며 따라서 위상공간이기도 하다. 이 거리공간은 완비(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 Q_p 상에서 마치 실수체 R 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

개론

유리수체 $\mathbb {Q}$는 표준 노름 $|a/b|$에 대하여 완비 거리공간을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 코시 수열들의 동치류들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 실수체 $\mathbb {R}$을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 매우 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. p진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 소수 p에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 $p^{n}(a/b)$ ($a$와 $b$는 $p$로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, $p=7$이라고 하자. 그렇다면,

$28/5=7\times (4/5)$

$-15/98=7^{-2}\times (-15/2)$

이는 "변수" $p=7$에 대한 단항식 $(4/5)p$ 또는 $-(15/2)p^{-2}$와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, $p$를 일종의 무한소로 취급하면, $p$의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "작고", $p^{-1}$의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이와 같이 유리수체 $\mathbb {Q}$ 위에 $p$의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 노름이 작아지는 노름을 정의할 수 있다. p진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

역사

쿠르트 헨젤이 1897년에 수론에서 사용하기 위하여 도입하였다. 원래 수론에서 도입되었지만, 오늘날 p진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 p진 해석학은 미적분학의 p진법 버전이라 할 수 있다.

정의

$p$가 소수라고 하자. 유리수체 $\mathbb {Q}$에 다음과 같은 노름 $|\cdot |_{p}$를 정의할 수 있다.

$|p^{n}a/b|_{p}=p^{-n}$ ($p\nmid a,b$)

$|0|_{p}=0$

(모든 0이 아닌 유리수는 $p^{n}a/b$와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 p진 노름(영어: p-adic norm)이라고 한다.

유리수체 $\mathbb {Q} _{p}$를 이 노름에 대하여 완비시켜 얻는 체를 p진체 $\mathbb {Q} _{p}$라고 하며, 그 원소를 p진수라고 한다.

p진 복소수

p진 복소수체 $\mathbb {C} _{p}$는 다음과 같이 정의한다.

1. p진체 $\mathbb {Q} _{p}$는 완비 거리공간이지만 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 그 대수적 폐포를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 ${\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$를 얻을 수 있다.
2. 대수적 폐포 $\mathbb {Q} _{p}$는 대수적으로 닫힌 체이지만 완비 거리공간이 아니다. 그 완비화를 취하여, $\mathbb {C} _{p}$라는 체를 얻는다. 이는 대수적으로 닫힌 체이자 완비 거리공간이다. 이를 p진 복소수체로 정의한다.

성질

p진 노름

p진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, $r,s\in \mathbb {Q}$는 임의의 유리수다.

• $|r+s|_{p}\leq \max\{|r|_{p},|s|_{p}\}$

이는 모든 노름들이 만족시키는 =삼각부등식 $|r+s|\leq |r|+|s|$보다 더 강한 조건이다.

• $\mathbb {Q}$의 표준 노름을 $|\cdot |_{\infty }$라고 쓰자. 그렇다면,

$|r|_{\infty }\prod _{p}|r|_{p}=1$

이다.

p진체

p진체 $\mathbb {Q} _{p}$는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

• $\mathbb {Q} _{p}$의 집합의 크기는 $|\mathbb {Q} _{p}|=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |$이다. 즉, 실수체의 크기와 같다.
• $\mathbb {Q} _{p}$는 유리수체를 부분체로 가지는 체이다. 그 체의 표수는 0이다.
• $\mathbb {Q} _{p}$는 순서 구조를 가하여 순서체로 만들 수 없다.
• 위상공간으로서, p진체 $\mathbb {Q} _{p}$는 국소 컴팩트 하우스도르프 공간이지만, 컴팩트하지 않다.

p진 복소수체

p진 복소수체 $\mathbb {C} _{p}$는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

• $\mathbb {C} _{p}$는 대수학적으로 표준 복소수체 $\mathbb {C}$와 동형이다. 즉, $\mathbb {C} _{p}$는 $\mathbb {C}$에 비표준 노름을 준 것으로 생각할 수 있다.
  • 따라서, $|\mathbb {C} _{p}|=|\mathbb {C} |={\mathfrak {c}}$이며, 대수적으로 닫힌 체임을 일 수 있다.
• 위상공간으로서, $\mathbb {C} _{p}$는 하우스도르프 공간이지만 국소 컴팩트하지 않다.

참고 문헌

• Gouvêa, Fernando Q. 《p-adic Numbers : An Introduction》. Universitext 2판. Springer. ISBN 3-540-62911-4. ISSN 0172-5939. MR 1488696.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Robert, Alain M. 《A Course in p-adic Analysis》. Graduate Texts in Mathematics 198. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3254-2. ISBN 978-1-4419-3150-4. ISSN 0072-5285. MR 1760253. 
• Koblitz, Neal (1984). 《p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions》. Graduate Texts in Mathematics 58 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1112-9. ISBN 978-1-4612-7014-0. ISSN 0072-5285. MR 0754003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Steen, Lynn Arthur. 《Counterexamples in Topology》. Dover. ISBN 0-486-68735-X. 

바깥 고리

• p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
• Completion of Algebraic Closure - on-line lecture notes