완비 거리 공간

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완비 거리 공간(完備距離空間, 영어: complete metric space)은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 공간이다. 즉, 어떤 점렬이 수렴해야 할 점렬(코시 열)이라면, 실제로 수렴하는 점이 존재하는 공간이다.

정의[편집]

완비 거리 공간은 모든 코시 열이 수렴하는 거리 공간이다.

완비화[편집]

거리 공간 (X,d)완비화는 다음과 같다. X의 모든 코시 열의 집합 \operatorname{Cauchy}(X)에 다음과 같은 유사 거리 함수를 주자.

d((x_i)_{i\in\mathbb N},(y_i)_{i\in\mathbb N})=\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)

코시 열의 조건에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면, \operatorname{Cauchy}(X)유사 거리 공간을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 열이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 열들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계를 정의하자.

(x_i)_{i\in\mathbb N}\sim(y_i)_{i\in\mathbb N}\iff\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)=0

즉, 무한히 가까워지는 두 코시 열들을 같은 동치류에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합 \operatorname{Cauchy}(X)/\sim 위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를 X완비화 \bar X(영어: completion)라고 한다.

성질[편집]

거리 공간 X는 완비화 \bar X로 가는 표준적인 사상 X\hookrightarrow\bar X이 존재한다. 이 사상은 X의 각 점을 (자명하게 코시 열을 이루는) 상수 점렬로 대응시킨다. 이는 단사 등거리 함수이며, 만약 X가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다.

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유리수의 거리 공간 (\mathbb Q,|\cdot|)는 완비 거리 공간이 아닌데, 이는 그 안에서 무리수\sqrt{2}로 가까워지는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다. 이 공간의 완비화는 실수의 거리 공간 (\mathbb R,|\cdot|)이다.

바깥 고리[편집]