콤팩트 공간

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유클리드 공간 \mathbb R^n부분집합닫혀 있고 유계인 경우 이 부분집합은 옹골차다(영어: compact)고 한다. 예를 들어 \mathbb R의 부분집합 중 폐구간 [0, 1]은 옹골차나, 정수의 집합 \mathbb Z는 유계가 아니므로 옹골차지 않다. 또한, 반개구간 [0, 1)도 닫혀 있지 않으므로 옹골차지 않다.

보다 일반적으로, 위상공간의 모든 개피복이 유한부분피복을 가지면 이를 옹골차다고 한다. 하이네-보렐 정리에 따르면, 유클리드 공간의 부분집합에 대해서는 이 일반적인 정의가 위의 "닫혀 있고 유계" 정의와 동치이다.

그러나 부르바키를 비롯한 몇몇 저자들은 위의 의미에서 '준옹골'(quasi-compact)이라는 표현을 사용하고, '옹골'이라는 표현은 하우스도르프이고 옹골찬 공간을 가리킬 때 쓴다.

역사와 의미[편집]

'옹골'이라는 표현은 1906년에 모리스 르네 프레셰(Maurice René Fréchet)가 도입했다.

한때는 '옹골'이라는 표현이 '점렬옹골'(모든 수열수렴하는 부분수열을 갖는다)를 의미하기도 했다. 이는 현대적인 위상공간의 정의가 나타나기 이전 이 분야에서 주로 위상공간의 특수한 예인 거리공간만이 다루어졌고, 거리공간에서는 옹골과 점렬 옹골이 동치이기 때문이었다. 보다 일반적인 위상공간이 본격적으로 연구되면서 피복을 이용한 정의가 대두되었고, 과거에 거리공간에 대해 증명된 많은 결과들은 새로운 정의를 이용해 일반적인 위상공간에 대해 확장될 수 있었다. 이와 같은 일반화는 특히 함수공간의 연구에 유용하게 쓰였는데, 함수공간들은 많은 경우 거리공간이 아니기 때문이다.

대한민국의 국어사전에서는 옹골공간이라는 용어를 "주어진 위상에 대하여 전체가 옹골집합이 되는 위상공간"으로 정의하고 있다.[1]

정의[편집]

Rn의 부분집합의 경우[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n의 임의의 부분집합에 대해, 다음 조건은 동치이다:

  • 옹골집합이다.
  • 임의의 개피복이 유한 부분피복을 가진다.
  • 닫혀 있고 유계이다. : 하이네-보렐 정리
  • 임의의 가산피복이 유한 부분피복을 가진다(가산콤팩트성).
  • 집합에 포함된 임의의 무한 부분집합은 집합 내에 극한점을 갖는다.
  • 임의의 수열이 집합 내의 점으로 수렴하는 부분수열을 가진다(점렬 콤팩트성).
  • 임의의 유한 교집합 성질을 갖는 닫힌 부분집합들의 교집합이 공집합이 아니다.

정의의 동기[편집]

옹골참은, "국소적" 성질을 "대역적" 성질로 발전시킬 수 있다는 정의이다.[2]. 위상공간 X의 부분집합 A, B 가 성질 P 를 가지면 A \cup B 도 성질 P를 갖도록 하는 성질 P 를 생각한다. 만일 X가 성질 P 를 갖는 유한개의 집합 U_i (i\in I) 에 대해 X = \bigcup_{i\in I} U_i 로 표현될 수 있으면, X 또한 성질 P 를 갖는다는 것을 알 수 있다.

일반적인 정의[편집]

부분피복을 이용한 정의의 장점은, 거리의 개념을 필요로 하지 않고 오로지 위상적인 개념(개집합)만을 사용하기에, 일반적인 위상공간으로 확장될 수 있다는 것이다. 이렇게 확장된 옹골참은 위상적 성질이 된다. 예로서 폐구간 [0, 1]은 \mathbb R이나 \mathbb R^n 등에 어떻게 끼워 넣어(embed)지는지에 무관하게, 내재적으로 옹골차다.

위상공간 X의 모든 개피복이 유한 부분피복을 가지면 이를 옹골차다고 한다. 즉, X의 임의의 열린 부분집합들의 집합 \{U_i\}_{i\in I}에 대해, \bigcup_{i\in I} U_i = X일 경우 유한한 부분집합 J\subset I가 존재해서 \bigcup_{i\in J} U_i = X라는 것이다.

이와 동치인 조건으로, 유한 교집합 성질(finite intersection property)을 만족하는 임의의 폐부분집합들의 집합이 공집합이 아닌 교집합을 가지면 그 집합은 옹골차다[3]. 이 조건은 위의 개집합을 이용한 정의와 서로 쌍대관계에 있다.

일부 책에서는 옹골집합의 정의에 하우스도르프 조건을 추가하고, 그 조건을 제외한 경우를 "준옹골집합"이라 하기도 한다.

옹골공간의 예[편집]

  • 공집합.
  • 임의의 유한집합은 어떤 위상이 주어지든 옹골집합이다. 보다 일반적으로, 유한 위상(유한집합의 숫자가 유한개)이 주어진 임의의 위상공간은 옹골집합이다.
  • 닫힌 구간 [0, 1]은 옹골집합이다. 이는 하이네-보렐 정리로부터 나오는 결과이다. 반개구간 (0,1]의 경우, 이에 대한 개피복 \left(\frac 1 n, 1\right]\ (n=1,2,\cdots)가 유한 부분피복을 갖지 않기에, 옹골집합이 아니다.
  • 임의의 자연수 n에 대해, n차원 는 옹골차다. 하이네-보렐 정리에 의해, 임의의 유한차원 노음벡터공간(normed vector space)의 닫힌 단위공(closed unit ball)은 옹골차다. 단, 이는 무한차원 공간에 대해서는 성립하지 않는다.
  • 칸토어 집합은 옹골차다. p진 정수의 집합은 칸토르집합과 위상동형이므로 옹골차다.
  • cofinite 위상이 주어진 임의의 공간은 옹골차다.
  • 임의의 국소 옹골하우스도르프 공간은 한 점을 추가해서 옹골집합으로 만들 수 있는데, 이를 알렉산드로프 옹골화라고 한다. 직선 \mathbb{R}의 알렉산드로프 옹골화는 원 S^1과 위상동형이며, 평면 \mathbb{R}^2의 알렉산드로프 옹골화는 구 S^2와 위상동형이다.
  • 임의의 가환환이나 불 대수(Boolean algebra)의 스펙트럼(spectrum)은 옹골차다.
  • 힐베르트입방체는 옹골차다.

유사 개념[편집]

옹골공간의 성질을 보다 잘 이해하고 그와 유사한 공간들을 다루기 위해 다음과 같이 여러 가지로 옹골 개념이 개발되어 있다.

  1. 뇌터공간
  2. 국소옹골공간
  3. 가산옹골공간
  4. 극한점옹골공간
  5. 린델뢰프공간
  6. 점렬옹골공간
  7. 파라옹골공간
  8. 유사옹골공간
  9. 메조옹골공간
  10. 메타옹골공간
  11. 직교옹골공간
  12. 시그마-옹골공간
  13. 반옹골공간
  14. 초옹골공간
  15. 희박옹골공간
  16. 준파라옹골공간

개념들 간의 함의관계[편집]

이 개념들 간의 관계를 정리하면 다음과 같다.

  1. 뇌터 → 옹골
  2. 초옹골 → 옹골
  3. 옹골 → 국소옹골
  4. 옹골 → 반옹골 → 시그마-옹골 → 린델뢰프
  5. 린델뢰프이고 가산옹골 → 옹골
  6. 국소 옹골이고 린델뢰프 → 반옹골
  7. 옹골 → 가산옹골 → 유사옹골
  8. 점렬옹골 → 가산옹골 → 극한점옹골
  9. 제1가산 가산옹골 → 점렬옹골
  10. T_1 공간에서 점렬옹골, 가산옹골, 극한점옹골은 동치.
  11. T_4 유사옹골 → 가산옹골
  12. 옹골 → 희박옹골 → 유사옹골
  13. 희박옹골이고 파라옹골 → 옹골
  14. 유사옹골 완비 정칙공간 → 희박옹골
  15. 거리공간에서 옹골, 가산옹골, 점렬옹골, 극한점옹골, 유사옹골, 희박옹골은 동치.
  16. T_4 린델뢰프 → 파라옹골 (모리타의 정리)
  17. 옹골 → 파라옹골 → 메조옹골 → 메타옹골 → 직교옹골
  18. 파라옹골 → 준파라옹골
  19. 준파라옹골 정칙공간 → 파라옹골

주석[편집]

  1. 네이버 국어사전
  2. Klaus Jänich, 《Topology》, Springer, 1984, p.18
  3. A space is compact if and only if the space has the finite intersection property on - 플래닛매스(PlanetMath)

참고 문헌[편집]

외부 연결[편집]