콤팩트 공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(컴팩트 공간에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색

유클리드 공간 \mathbb R^n부분집합닫혀 있고 유계인 경우 이 부분집합은 콤팩트(영어: compact, 문화어: 콤팍트) 또는 옹골이라고 한다. 예를 들어 \mathbb R의 부분집합 중 닫힌 구간 [0, 1]은 콤팩트이나, 정수의 집합 \mathbb Z는 유계가 아니므로 콤팩트하지 않다. 또한, 반열린 구간 [0, 1)도 닫혀 있지 않으므로 콤팩트하지 않다.

보다 일반적으로, 위상공간의 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지면 이를 콤팩트하다고 한다. 하이네-보렐 정리에 따르면, 유클리드 공간의 부분집합에 대해서는 이 일반적인 정의가 위의 "닫혀 있고 유계" 정의와 동치이다.

그러나 부르바키를 비롯한 몇몇 저자들은 위의 의미에서 '준콤팩트'(quasi-compact)라는 표현을 사용하고, '콤팩트'라는 표현은 하우스도르프이고 콤팩트한 공간을 가리킬 때 쓴다.

역사와 의미[편집]

'콤팩트'라는 표현은 1906년에 모리스 르네 프레셰가 도입했다.

한때는 '콤팩트'라는 표현이 '점렬 콤팩트'(모든 수열수렴하는 부분수열을 갖는다)를 의미하기도 했다. 이는 현대적인 위상공간의 정의가 나타나기 이전 이 분야에서 주로 위상공간의 특수한 예인 거리공간만이 다루어졌고, 거리공간에서는 콤팩트와 점렬 콤팩트가 동치이기 때문이었다. 보다 일반적인 위상공간이 본격적으로 연구되면서 덮개를 이용한 정의가 대두되었고, 과거에 거리공간에 대해 증명된 많은 결과들은 새로운 정의를 이용해 일반적인 위상공간에 대해 확장될 수 있었다. 이와 같은 일반화는 특히 함수공간의 연구에 유용하게 쓰였는데, 함수공간들은 많은 경우 거리공간이 아니기 때문이다.

정의[편집]

Rn의 부분집합의 경우[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n의 임의의 부분집합에 대해, 다음 조건은 동치이다:

  • 집합이 콤팩트하다.
  • 임의의 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다.
  • 닫혀 있고 유계이다. : 하이네-보렐 정리
  • 임의의 가산 덮개가 유한 부분덮개를 가진다(가산콤팩트성).
  • 집합에 포함된 임의의 무한 부분집합은 집합 내에 집적점을 갖는다.
  • 임의의 수열이 집합 내의 점으로 수렴하는 부분수열을 가진다(점렬 콤팩트성).
  • 임의의 유한 교집합 성질을 갖는 닫힌 부분집합들의 교집합이 공집합이 아니다.

정의의 동기[편집]

콤팩트함은, "지엽적" 성질을 "전체적" 성질로 발전시킬 수 있다는 정의이다.[1]. 위상공간 X의 부분집합 A, B 가 성질 P 를 가지면 A \cup B 도 성질 P를 갖도록 하는 성질 P 를 생각한다. 만일 X가 성질 P 를 갖는 유한개의 집합 U_i (i\in I) 에 대해 X = \bigcup_{i\in I} U_i 로 표현될 수 있으면, X 또한 성질 P 를 갖는다는 것을 알 수 있다.

일반적인 정의[편집]

부분덮개를 이용한 정의의 장점은, 거리의 개념을 필요로 하지 않고 오로지 위상적인 개념(열린 집합)만을 사용하기에, 일반적인 위상공간으로 확장될 수 있다는 것이다. 이렇게 확장된 콤팩트성은 위상적 성질이 된다. 예로서 닫힌 구간 [0, 1]은 \mathbb R이나 \mathbb R^n 등에 어떻게 끼워 넣어(embed)지는지에 무관하게, 내재적으로 콤팩트하다.

위상 공간 X의 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가지면 이를 콤팩트하다고 한다. 즉, X의 임의의 열린 부분집합들의 집합 \{U_i\}_{i\in I}에 대해, \bigcup_{i\in I} U_i = X일 경우 유한한 부분집합 J\subset I가 존재해서 \bigcup_{i\in J} U_i = X라는 것이다.

이와 동치인 조건으로, 유한 교집합 성질(finite intersection property)을 만족하는 임의의 닫힌 부분집합들의 집합이 공집합이 아닌 교집합을 가지면 그 집합은 콤팩트하다[2]. 이 조건은 위의 열린 집합을 이용한 정의와 서로 쌍대 관계에 있다.

일부 책에서는 콤팩트 집합의 정의에 하우스도르프 조건을 추가하고, 그 조건을 제외한 경우를 "쿼시콤팩트"라고 하기도 한다.

콤팩트 공간의 예[편집]

  • 공집합.
  • 임의의 유한집합은 어떤 위상이 주어지든 콤팩트하다. 보다 일반적으로, 유한 위상(유한집합의 숫자가 유한개)이 주어진 임의의 위상공간은 콤팩트하다.
  • 닫힌 구간 [0, 1]은 콤팩트하다. 이는 하이네-보렐 정리로부터 나오는 결과이다. 반열린 구간 (0,1]의 경우, 이에 대한 열린 덮개 \left(\frac 1 n, 1\right]\ (n=1,2,\cdots)가 유한 부분덮개를 갖지 않기에, 콤팩트하지 않다.
  • 임의의 자연수 n에 대해, n차원 는 콤팩트하다. 하이네-보렐 정리에 의해, 임의의 유한차원 노름공간의 닫힌 단위공(closed unit ball)은 콤팩트하다. 단, 이는 무한차원 공간에 대해서는 성립하지 않는다.
  • 칸토어 집합은 콤팩트하다. p진 정수의 집합은 칸토어 집합과 위상동형이므로 콤팩트하다.
  • cofinite topology가 주어진 임의의 공간은 콤팩트하다.
  • 임의의 국소 콤팩트하우스도르프 공간은 한 점을 추가해서 콤팩트 집합으로 만들 수 있는데, 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 직선 \mathbb{R}의 알렉산드로프 콤팩트화는 원 S^1과 위상동형이며, 평면 \mathbb{R}^2의 알렉산드로프 콤팩트화는 구 S^2와 위상동형이다.
  • 임의의 가환환이나 불 대수(Boolean algebra)의 스펙트럼(spectrum)은 콤팩트하다.
  • 힐베르트입방체는 콤팩트하다.

유사 개념[편집]

콤팩트 공간의 성질을 보다 잘 이해하고 그와 유사한 공간들을 다루기 위해 다음과 같이 여러 가지로 콤팩트 개념이 개발되어 있다.

  1. 뇌터 공간
  2. 국소 콤팩트 공간
  3. 가산콤팩트 공간
  4. 극한점 콤팩트 공간
  5. 린델뢰프 공간
  6. 점렬 콤팩트 공간
  7. 파라콤팩트 공간
  8. 유사콤팩트 공간
  9. 메조콤팩트 공간
  10. 메타콤팩트 공간
  11. 직교 콤팩트 공간
  12. 시그마-콤팩트 공간
  13. 반콤팩트 공간
  14. 초콤팩트 공간
  15. 희박 콤팩트 공간
  16. 준파라콤팩트 공간

개념들 간의 함의관계[편집]

이 개념들 간의 관계를 정리하면 다음과 같다.

  1. 뇌터 → 콤팩트
  2. 초콤팩트 → 콤팩트
  3. 콤팩트 → 국소 콤팩트
  4. 콤팩트 → 반콤팩트 → 시그마-콤팩트 → 린델뢰프
  5. 린델뢰프이고 가산콤팩트 → 콤팩트
  6. 국소 콤팩트이고 린델뢰프 → 반콤팩트
  7. 콤팩트 → 가산콤팩트 → 유사콤팩트
  8. 점렬 콤팩트 → 가산콤팩트 → 극한점 콤팩트
  9. 제1가산 가산콤팩트 → 점렬 콤팩트
  10. T_1 공간에서 점렬 콤팩트, 가산콤팩트, 극한점 콤팩트는 동치.
  11. T_4 유사콤팩트 → 가산콤팩트
  12. 콤팩트 → 희박 콤팩트 → 유사콤팩트
  13. 희박 콤팩트이고 파라콤팩트 → 콤팩트
  14. 유사콤팩트 완비 정칙공간 → 희박 콤팩트
  15. 거리공간에서 콤팩트, 가산콤팩트, 점렬 콤팩트, 극한점 콤팩트, 유사콤팩트, 희박 콤팩트는 동치.
  16. T_4 린델뢰프 → 파라콤팩트 (모리타의 정리)
  17. 콤팩트 → 파라콤팩트 → 메조콤팩트 → 메타콤팩트 → 직교 콤팩트
  18. 파라콤팩트 → 준파라콤팩트
  19. 준파라콤팩트 정칙공간 → 파라콤팩트

주석[편집]

  1. Klaus Jänich, 《Topology》, Springer, 1984, p.18
  2. A space is compact if and only if the space has the finite intersection property on - 플래닛매스(PlanetMath)

참고 문헌[편집]

외부 연결[편집]