위상 K이론

대수적 위상수학에서, 위상 K이론(topological K-theory)은 위상공간 위의 벡터다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다. 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 창시하였다.

정의

$X$가 컴팩트 하우스도르프 공간이고, $k$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $X$의 K군(K-group) $K(X)$는 $X$ 위의 $k$-벡터다발들의 그로텐디크 군이다. 보통 실수 K군은 $K_{\mathbb {R} }(X)=KO(X)$ , 복소 K군은 $K_{\mathbb {C} }(X)=KU(X)$라고 쓴다. 여기서 O, U는 직교군(orthogonal group)과 유니터리 군(unitary group)의 이름의 약자이다. K군은 그로텐디크 군이므로 아벨 군이다. 또한, 벡터다발의 텐서곱을 통하여 K군은 (곱셈 단위원을 가진) 가환환을 이룬다.

이제부터는 첨자 $k$를 암묵적으로 생략한다.

$X$가 점 $x_{0}$를 갖추었다고 하자 (pointed space). 그렇다면 축소 K군(reduced K-group) ${\tilde {K}}(X,x_{0})$는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형사상이 존재한다.

$\phi \colon K(X)\to K(\{x_{0}\})$

그렇다면

${\tilde {K}}(X,x_{0})=\ker \phi =K(X)/K(\{x_{0}\})$

이다.

벡터다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형사상이 존재한다.

$\dim \colon K(X)\to {\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )$

여기서 ${\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )$는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 $X$가 연결공간이라면 ${\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$이다. 이 경우 $\dim \colon K(X)\to \mathbb {Z}$이며, 벡터공간 $K_{n}(X)=\dim ^{-1}(n)$은 $n$차원 벡터다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

성질

펑터성

연속함수 $X\to Y$가 주어지면, 이에 따라 선형변환 $K_{n}(Y)\to K_{n}(X)$가 존재한다. 이는 반변펑터를 이룬다.

분류공간

• $BO_{n}$은 무한차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 $n$차원 부분공간들의 공간(그라스만 공간)이다. 이 경우 ${\tilde {K}}O_{n}(X)\cong [X,BO_{n}]$이다. 여기서 $[X,BO_{k}]$는 $X\to BO_{k}$ 연속함수들의 집합이다. 마찬가지로, $BU_{n}$은 무한차원 복소 힐베르트 공간에서 원점을 지나는 복소 $n$차원 부분공간들의 공간이며, $KU_{n}(X)\cong [X,BU_{n}]$이다. 즉, $KO_{n}$의 분류공간(classifying space)은 $BO_{n}$이며, $KU_{n}$의 분류공간은 $BU_{n}$이다.

보트 주기성

보트 주기성(Bott periodicity)에 따라, 다음이 성립한다.

• ${\tilde {K}}U^{n+2}(X)={\tilde {K}}U^{n}(X)$
• ${\tilde {K}}O^{n+8}(X)={\tilde {K}}O^{n}(X)$.

참고 문헌

• Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory”. arXiv:1008.1346. Bibcode: 2010arXiv1008.1346Z. 
• Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》. Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. arXiv:0903.3983. Bibcode: 2009arXiv0903.3983C.