수학에서 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.
콤팩트 복소다양체
위에 해석적 벡터다발
가 있다고 하자. 그렇다면
의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표
를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \chi (E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7487f1885e6de2e37e597ba9aa4885a105d833)
여기서
는
의 천 지표,
는
의 접다발의 토드 특성류다.
가 리만 곡면이라고 하고,
가 인자류
에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle \chi (E)=h^{0}(E)-h^{1}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d9fb9ae341b92b772fcf7d9065be78a657721)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=1+c_{1}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5300133474c542faa0783bc2fe699f0d56773e)
![{\displaystyle \operatorname {Td} (X)=1+c_{1}(X)/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006c9e0581c69505b3b3b3f77271b77702a49c70)
이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는
![{\displaystyle h^{0}(E)-h^{1}(E)=\int _{X}(c_{1}(E)+c_{1}(X)/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3216f9192d9a1fca462452d4a6dfeb13dcbb24)
이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류는
이므로,
는
의 오일러 지표
![{\displaystyle \int _{X}c_{1}(X)=\chi (X)=2-2g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd5d8ddcf1a9f77ba9fd3b84980fc1655bca883)
이다. 여기서
는
의 종수(genus)다. 또한,
![{\displaystyle \int _{X}c_{1}(E)=\deg D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8020407ffae5033e267285c29d76604380ac1c)
이다. 또한,
![{\displaystyle h^{0}(E)=I(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72da3b732850dbba70ba53a165b58ba8b22b35d6)
이고, 세르 쌍대성에 의하여
![{\displaystyle h^{1}(E)=h^{0}({\mathcal {O}}(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c81e388b84ea85e8e88138e0cd1bc9b2bd5183)
(
는 표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리
![{\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d3125bbbc13c804274c12ef8b83a735fa12ad8)
를 얻는다.
오일러 지표[편집]
복소수
차원 콤팩트 켈러 다양체
의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,
![{\displaystyle \chi (M)=\sum _{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum _{n}(-1)^{p}\chi \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4c835f66093c3f97d5f4797601dd77b3026be4)
이다. 여기서
는 호지 수이며,
은
의 복소수 공변접다발이다.
분할 원리(영어: splitting principle)에 따라,
을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가
![{\displaystyle (x_{i})_{i=1,\dots ,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52a5c8fcac507ba742a4eb39c5ec61165eea6e2)
라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는
이다. 그렇다면,
![{\displaystyle \bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5da45e466128b23e500db0bd5e381eaa6218f8)
의 천 지표는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\sum _{I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}^{|I|=p}\prod _{i\in I}\exp(-x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b8e53df33b3ed84820ce3cf39f28e806d00158)
즉,
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\prod _{i=1}^{n}(1-\exp(-x_{i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35070190ca3ca635ed260b3c7bd05ff167fb62d)
이다. 따라서,
의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.
![{\displaystyle \chi (M)=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)\sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}(1-\exp(-x_{i}))=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\int _{M}c_{n}(TM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941c56236152593db008ea5bb94545242e0cff42)
즉,
의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.
프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.[1]
- ↑ Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). “Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 (영어) 40 (2): 110–114. doi:10.1073/pnas.40.2.110. ISSN 0027-8424.
같이 보기[편집]