확률 공간
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통계학 시리즈의 일부 |
확률론 |
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확률론에서 확률 공간(確率空間, 영어: probability space)은 전체 측도가 1인 측도 공간이다. 확률적인 현상에서, 확률공간의 측도는 확률을 정의한다.
정의
[편집]확률 공간 은 공간 전체의 측도가 1인 측도 공간이다.
확률론에서는 측도론의 용어와 다른 각종 용어들이 사용된다.
- 확률공간의 점들의 집합 는 표본 공간이라고 한다.
- 확률공간의 가측 집합 은 사건(영어: event)이라고 한다.
- 사건 의 측도 는 사건의 확률(영어: probability)이라고 한다.
확률론의 용어를 사용한다면, 측도 공간의 각종 성질은 다음과 같다.
- 사건 에 대하여, 그 여집합 역시 사건이다. 즉, 어떤 사건에 대하여, 그 사건이 일어나지 않는 경우 역시 사건이다.
- 가산 개의 사건들이 주어졌을 때, 그 합집합과 교집합 역시 사건이다. 즉, 사건들의 열이 주어졌을 때, 사건의 열 가운데 적어도 하나가 일어나는 경우(합집합)도 사건을 이루며, 사건의 열이 모두 일어나는 경우 (교집합) 역시 사건을 이룬다.
- 공집합과 전체집합은 사건이다. 즉, 불가능한 사건(공집합)과 필연적인 사건(전체집합)이 존재한다.
예
[편집]확률 공간의 기초적인 예로는 다음이 있다.
유한 확률 공간
[편집]유한 집합 및 음이 아닌 실수 값의 함수 을 부여하고, 또한
이라고 하면, 다음과 같은 확률 공간 을 정의할 수 있다.
- 표본 공간은 유한 집합 이다.
- 사건 시그마 대수는 이산 시그마 대수 이다. 즉, 표본 공간의 모든 부분 집합이 사건을 이룬다.
- 사건 의 확률은 다음과 같다.
유클리드 공간의 부분 공간
[편집]이 주어졌다면, 다음과 같은 확률공간 을 정의할 수 있다.
- 표본 공간은 이다.
- 사건 시그마 대수는 이다.
- 사건 의 확률은 다음과 같다.
예를 들어, 유클리드 공간의 유한 측도 부분 집합을 확률 공간으로 삼을 수 있다.
같이 보기
[편집]참고 문헌
[편집]- Doob, Joseph L. (1996년 8월). “The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 103 (7). doi:10.2307/2974673. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974673. MR 1404084. Zbl 0865.01011.
외부 링크
[편집]- “Probability space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Probability space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.