보편 대수학 과 격자 이론 에서 허용 관계 (영어 : tolerance relation )는 대수 구조 의 연산과 호환되는 반사 대칭 관계 이다. 즉, 합동 관계 에서 추이성 조건을 없애 얻는 개념이다. 허용 관계에 대한 몫 대수는 합동 관계 에 대한 몫 대수를 일반화한다. 합동 관계 와 달리, 허용 관계에 대한 몫 대수는 존재하지 않을 수 있으며, 몫 대수는 (만약 존재한다면) 항등식들을 보존할 필요가 없다.
대수 구조 위의 허용 관계는 통상적으로 모든 연산들과 호환되는 반사 대칭 관계 로 정의되며, 특별한 조건을 만족시키는 덮개 로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치 이다. 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
대수적 격자
Tolr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
합동 관계 격자
Cong
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
Tolr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
[1]
이항 관계를 통한 정의 [ 편집 ] 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
허용 관계 는 다음 조건을 만족시키는
A
{\displaystyle A}
이항 관계
∼
{\displaystyle \sim }
(반사성 ) 임의의
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
∼
a
{\displaystyle a\sim a}
(대칭성 ) 임의의
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
b
∼
a
{\displaystyle b\sim a}
(연산과의 호환)
{
(
a
,
b
)
:
a
∼
b
}
{\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}}
A
{\displaystyle A}
직접곱
A
2
{\displaystyle A^{2}}
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
a
1
,
…
,
a
n
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in A}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
a
i
∼
b
i
{\displaystyle a_{i}\sim b_{i}}
f
A
(
a
1
,
…
,
a
n
)
∼
f
A
(
b
1
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle f_{A}(a_{1},\dots ,a_{n})\sim f_{A}(b_{1},\dots ,b_{n})}
합동 관계 추이적 허용 관계이다.
덮개를 통한 정의 [ 편집 ] 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
허용 관계 는 다음 조건들을 만족시키는
A
{\displaystyle A}
덮개
C
⊆
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(A)}
[2] :307, Theorem 3
임의의
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
S
⊆
C
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}
C
⊆
⋃
S
{\displaystyle \textstyle C\subseteq \bigcup {\mathcal {S}}}
⋂
S
⊆
C
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq C}
특히,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
S
=
{
D
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{D\}}
임의의
S
⊆
A
{\displaystyle S\subseteq A}
S
{\displaystyle S}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
부분 집합 이 아니라면,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
부분 집합 이 아닌 두 원소 집합
{
s
,
t
}
⊆
S
{\displaystyle \{s,t\}\subseteq S}
임의의
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
C
1
,
…
,
C
n
∈
C
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}
f
A
[
C
1
×
⋯
×
C
n
]
⊆
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
∈
C
{\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})\in {\mathcal {C}}}
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
집합의 분할 은 정의의 처음 두 조건을 만족시키지만, 그 역은 성립하지 않는다. 합동 관계 집합의 분할 을 이루는 허용 관계이다.
두 정의의 동치 [ 편집 ] 이항 관계 로서의 허용 관계와 덮개 로서의 허용 관계의 정의는 서로 동치 이다. 구체적으로, 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
이항 관계
∼
{\displaystyle \sim }
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
극대 부분 집합
C
⊆
A
{\displaystyle C\subseteq A}
임의의
c
,
d
∈
C
{\displaystyle c,d\in C}
c
∼
d
{\displaystyle c\sim d}
그래프 이론 의 용어를 사용하면,
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
그래프
(
A
,
∼
)
{\displaystyle (A,\sim )}
극대 클릭 들의 집합이다. 합동 관계 의 경우 이는 단순히 동치류 들의 몫집합 이다. 그렇다면,
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
A
{\displaystyle A}
덮개 이며, 덮개로서 허용 관계를 이룬다. (덮개 정의의 마지막 조건은 초른 보조정리 를 사용하여 보일 수 있다.) 반대로, 허용 관계를 이루는
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
덮개
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
a
∼
C
b
⟺
∃
C
∈
C
:
a
,
b
∈
C
{\displaystyle a\sim _{\mathcal {C}}b\iff \exists C\in {\mathcal {C}}\colon a,b\in C}
라고 하자. 그렇다면,
∼
C
{\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}
이항 관계 로서 허용 관계를 이룬다.
∼
↦
A
/
∼
{\displaystyle {\sim }\mapsto A/{\sim }}
C
↦
∼
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}\mapsto {\sim _{\mathcal {C}}}}
이항 관계 로서의 허용 관계들과 덮개 로서의 허용 관계들 사이의 일대일 대응 이며, 서로 역함수 이다. 따라서 두 정의는 서로 동치 이다. 허용 관계가 이항 관계 로서 동치 관계 인 것은 덮개 로서 집합의 분할 인 것과 동치 이다. 즉, 합동 관계 의 두 가지 정의도 서로 일치한다.
허용 관계에 대한 몫 대수 [ 편집 ] 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
∼
{\displaystyle \sim }
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
C
1
,
…
,
C
n
∈
A
/
∼
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }}
f
A
[
C
1
×
⋯
×
C
n
]
⊆
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
인
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
∼
{\displaystyle \sim }
몫 대수
(
A
/
∼
,
F
A
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})}
를 정의한다. 합동 관계 의 경우, 이러한 유일성 조건은 항상 만족되며, 정의된 몫 대수는 통상적인 몫 대수와 일치한다.
부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조 다양체
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
허용 몫 가능 다양체 (영어 : tolerance factorable variety )라고 한다.
임의의
(
A
,
F
A
)
∈
V
{\displaystyle (A,F_{A})\in {\mathcal {V}}}
∼
{\displaystyle \sim }
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
C
1
,
…
,
C
n
∈
A
/
∼
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }}
f
A
[
C
1
×
⋯
×
C
n
]
⊆
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
f
A
/
∼
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}
(
A
/
∼
,
F
A
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})}
부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조 다양체
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
강하게 허용 몫 가능 다양체 (영어 : strongly tolerance factorable variety )라고 한다.
허용 몫 가능 다양체이다.
임의의
(
A
,
F
A
)
∈
V
{\displaystyle (A,F_{A})\in {\mathcal {V}}}
∼
{\displaystyle \sim }
(
A
/
∼
,
F
A
/
∼
)
∈
V
{\displaystyle (A/{\sim },F_{A/{\sim }})\in {\mathcal {V}}}
모든 강하게 허용 몫 가능 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
만약 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
∀
f
∈
F
∀
a
∈
A
:
f
A
(
a
,
…
,
a
)
=
a
{\displaystyle \forall f\in F\forall a\in A\colon f_{A}(a,\dots ,a)=a}
∼
{\displaystyle \sim }
C
∈
A
/
∼
{\displaystyle C\in A/{\sim }}
C
{\displaystyle C}
A
{\displaystyle A}
[2] :308, Theorem 4
임의의
n
{\displaystyle n}
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
c
1
,
…
,
c
n
∈
C
{\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in C}
f
A
(
c
1
,
…
,
c
n
)
∈
C
{\displaystyle f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})\in C}
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
c
i
∼
c
{\displaystyle c_{i}\sim c}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
c
=
f
A
(
c
,
…
,
c
)
∼
f
A
(
c
1
,
…
,
c
n
)
{\displaystyle c=f_{A}(c,\dots ,c)\sim f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})}
이다.
C
{\displaystyle C}
f
A
(
c
1
,
…
,
c
n
)
∈
C
{\displaystyle f_{A}(c_{1},\dots ,c_{n})\in C}
부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
|
A
|
≥
3
{\displaystyle |A|\geq 3}
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
그렇다면,
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
합동 관계 가 아닌 허용 관계가 존재한다.[2] :310, Theorem 8
합동 관계의 준동형 상 [ 편집 ] 부호수
F
{\displaystyle F}
대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
전사 준동형
ϕ
:
(
A
,
F
A
)
→
(
B
,
F
B
)
{\displaystyle \phi \colon (A,F_{A})\to (B,F_{B})}
A
{\displaystyle A}
합동 관계
R
{\displaystyle R}
B
{\displaystyle B}
이항 관계
ϕ
(
R
)
{\displaystyle \phi (R)}
a
∼
ϕ
(
R
)
b
⟺
∃
a
′
∈
ϕ
−
1
(
a
)
∃
b
′
∈
ϕ
−
1
(
b
)
:
a
′
∼
R
b
′
(
a
,
b
∈
B
)
{\displaystyle a\sim _{\phi (R)}b\iff \exists a'\in \phi ^{-1}(a)\exists b'\in \phi ^{-1}(b)\colon a'\sim _{R}b'\qquad (a,b\in B)}
그렇다면,
ϕ
(
R
)
{\displaystyle \phi (R)}
B
{\displaystyle B}
강하게 허용 몫 가능 다양체
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
합동 관계 의 준동형 에 대한 상 이다.[3]
집합 은
F
=
∅
{\displaystyle F=\varnothing }
대수 구조 이다. 집합 위의 허용 관계는 단순히 반사 대칭 관계 가 된다. 따라서, 집합 의 다양체는 자명하게 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다.
군 위에서, 모든 허용 관계는 합동 관계 이다. 특히, 환 , 벡터 공간 , 가군 , 불 대수 등의, 일부 연산을 잊었을 때 군 을 이루는 대수 구조 들 위에서도 마찬가지다.[4] :261–262
격자
L
{\displaystyle L}
∼
{\displaystyle \sim }
L
/
∼
{\displaystyle L/{\sim }}
L
{\displaystyle L}
볼록 부분 격자 를 이룬다. 따라서, 임의의
A
∈
L
/
∼
{\displaystyle A\in L/{\sim }}
A
=
↑
A
∩
↓
A
{\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A}
이다. 특히,
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
필요충분조건 은
a
∨
b
∼
a
∧
b
{\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b}
만약
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
a
≤
c
,
d
≤
b
{\displaystyle a\leq c,d\leq b}
c
∼
d
{\displaystyle c\sim d}
만약
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
a
∨
b
=
(
a
∨
b
)
∧
a
∼
(
a
∨
a
)
∧
b
=
a
∧
b
{\displaystyle a\vee b=(a\vee b)\wedge a\sim (a\vee a)\wedge b=a\wedge b}
이다. 반대로, 만약
a
∨
b
∼
a
∧
b
{\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b}
a
=
a
∨
(
a
∧
b
)
∼
a
∨
(
a
∨
b
)
=
a
∨
b
{\displaystyle a=a\vee (a\wedge b)\sim a\vee (a\vee b)=a\vee b}
이며, 마찬가지로
b
∼
a
∨
b
{\displaystyle b\sim a\vee b}
이다. 따라서,
a
=
a
∧
(
a
∨
b
)
∼
(
a
∨
b
)
∧
b
=
b
{\displaystyle a=a\wedge (a\vee b)\sim (a\vee b)\wedge b=b}
이다.
만약
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
a
≤
c
,
d
≤
b
{\displaystyle a\leq c,d\leq b}
c
=
b
∧
c
∼
a
∧
c
=
a
{\displaystyle c=b\wedge c\sim a\wedge c=a}
이며, 마찬가지로
d
∼
a
{\displaystyle d\sim a}
이다. 따라서,
c
=
a
∨
c
∼
d
∨
a
=
d
{\displaystyle c=a\vee c\sim d\vee a=d}
이다.
모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의
A
∈
L
/
∼
{\displaystyle A\in L/{\sim }}
L
{\displaystyle L}
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
c
∈
L
{\displaystyle c\in L}
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle a\leq c\leq b}
A
{\displaystyle A}
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
d
∈
A
{\displaystyle d\in A}
c
∼
d
{\displaystyle c\sim d}
a
∧
d
≤
c
∧
d
≤
c
∨
d
≤
b
∨
d
{\displaystyle a\wedge d\leq c\wedge d\leq c\vee d\leq b\vee d}
이므로,
a
∧
d
∼
b
∨
d
{\displaystyle a\wedge d\sim b\vee d}
를 보이면 족하다.
A
{\displaystyle A}
a
∧
d
,
b
∨
d
∈
A
{\displaystyle a\wedge d,b\vee d\in A}
a
∧
d
∼
b
∨
d
{\displaystyle a\wedge d\sim b\vee d}
격자 의 다양체는 강하게 허용 몫 가능 다양체를 이룬다. 즉, 격자
(
L
,
∨
L
,
∧
L
)
{\displaystyle (L,\vee _{L},\wedge _{L})}
∼
{\displaystyle \sim }
A
,
B
∈
L
/
∼
{\displaystyle A,B\in L/{\sim }}
{
a
∨
L
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
⊆
A
∨
L
/
∼
B
{\displaystyle \{a\vee _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee _{L/{\sim }}B}
{
a
∧
L
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
⊆
A
∧
L
/
∼
B
{\displaystyle \{a\wedge _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge _{L/{\sim }}B}
인 유일한
A
∨
L
/
∼
B
,
A
∧
L
/
∼
B
∈
L
/
∼
{\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}B,A\wedge _{L/{\sim }}B\in L/{\sim }}
(
L
/
∼
,
∨
L
/
∼
,
∧
L
/
∼
)
{\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }},\wedge _{L/{\sim }})}
는 다시 격자 를 이룬다.[5] [6] [7] :44, Theorem 22
증명 (
L
/
∼
{\displaystyle L/{\sim }}
임의의
A
,
B
,
C
∈
L
/
∼
{\displaystyle A,B,C\in L/{\sim }}
만약
↑
A
=
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
만약
↓
A
=
↓
B
{\displaystyle \mathop {\downarrow } A=\mathop {\downarrow } B}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
만약
{
a
∨
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
⊆
C
{\displaystyle \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C}
↑
C
=
↑
A
∩
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } C=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B}
만약
{
a
∧
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
⊆
C
{\displaystyle \{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq C}
↓
C
=
↓
A
∩
↓
B
{\displaystyle \mathop {\downarrow } C=\mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B}
첫 번째 명제의 증명.
U
=
(
↓
A
∨
Ideal
(
L
)
↓
B
)
∩
↑
A
=
(
↓
A
∨
Ideal
(
L
)
↓
B
)
∩
↑
B
{\displaystyle U=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } A=(\mathop {\downarrow } A\vee _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B)\cap \mathop {\uparrow } B}
∨
Ideal
(
L
)
{\displaystyle \vee _{\operatorname {Ideal} (L)}}
순서 아이디얼 격자에서의 상한 ).
A
=
↑
A
∩
↓
A
{\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A}
B
=
↑
B
∩
↓
B
{\displaystyle B=\mathop {\uparrow } B\cap \mathop {\downarrow } B}
A
⊆
U
{\displaystyle A\subseteq U}
B
⊆
U
{\displaystyle B\subseteq U}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
u
,
u
′
∈
U
{\displaystyle u,u'\in U}
u
∼
u
′
{\displaystyle u\sim u'}
u
≤
a
∨
b
{\displaystyle u\leq a\vee b}
u
′
≤
a
′
∨
b
′
{\displaystyle u'\leq a'\vee b'}
a
,
a
′
∈
A
{\displaystyle a,a'\in A}
b
,
b
′
∈
B
{\displaystyle b,b'\in B}
x
=
u
∧
u
′
∧
a
∧
a
′
∧
b
∧
b
′
{\displaystyle x=u\wedge u'\wedge a\wedge a'\wedge b\wedge b'}
x
≤
u
,
u
′
≤
a
∨
a
′
∨
b
∨
b
′
{\displaystyle x\leq u,u'\leq a\vee a'\vee b\vee b'}
x
∼
a
∨
a
′
∨
b
∨
b
′
{\displaystyle x\sim a\vee a'\vee b\vee b'}
x
≤
a
,
b
{\displaystyle x\leq a,b}
x
∈
↓
A
∩
↓
B
{\displaystyle x\in \mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B}
u
,
u
′
,
a
,
a
′
∈
↑
A
{\displaystyle u,u',a,a'\in \mathop {\uparrow } A}
u
,
u
′
,
b
,
b
′
∈
↑
B
{\displaystyle u,u',b,b'\in \mathop {\uparrow } B}
↑
A
=
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B}
x
∈
↑
A
=
↑
B
{\displaystyle x\in \mathop {\uparrow } A=\mathop {\uparrow } B}
x
∈
A
∩
B
{\displaystyle x\in A\cap B}
a
∨
a
′
∈
A
{\displaystyle a\vee a'\in A}
b
∨
b
′
∈
B
{\displaystyle b\vee b'\in B}
x
∼
a
∨
a
′
{\displaystyle x\sim a\vee a'}
x
∼
b
∨
b
′
{\displaystyle x\sim b\vee b'}
x
∼
a
∨
a
′
∨
b
∨
b
′
{\displaystyle x\sim a\vee a'\vee b\vee b'}
세 번째 명제의 증명. 우선,
↑
A
∩
↑
B
=
↑
{
a
∨
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
⊆
↑
C
{\displaystyle \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B=\mathop {\uparrow } \{a\vee b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq \mathop {\uparrow } C}
c
∈
C
{\displaystyle c\in C}
c
∈
↑
A
∩
↑
B
{\displaystyle c\in \mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B}
c
∉
↑
A
{\displaystyle c\not \in \mathop {\uparrow } A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
x
∨
a
∨
b
,
c
∈
C
{\displaystyle x\vee a\vee b,c\in C}
x
∨
a
∨
b
∼
c
{\displaystyle x\vee a\vee b\sim c}
x
,
a
∈
A
{\displaystyle x,a\in A}
x
∨
a
∼
x
∧
a
{\displaystyle x\vee a\sim x\wedge a}
x
∨
a
∼
x
∧
a
∧
c
{\displaystyle x\vee a\sim x\wedge a\wedge c}
x
∨
a
≥
x
,
a
∧
c
≥
x
∧
a
∧
c
{\displaystyle x\vee a\geq x,a\wedge c\geq x\wedge a\wedge c}
x
∼
a
∧
c
{\displaystyle x\sim a\wedge c}
A
{\displaystyle A}
a
∧
c
∈
A
{\displaystyle a\wedge c\in A}
c
∈
↑
(
a
∧
c
)
⊆
↑
A
{\displaystyle c\in \mathop {\uparrow } (a\wedge c)\subseteq \mathop {\uparrow } A}
증명 (
L
/
∼
{\displaystyle L/{\sim }}
위 증명에 따라, 필터 격자와 순서 아이디얼 격자로 가는 자연스러운 단사 함수
↑
:
L
/
∼
→
Filter
(
L
)
{\displaystyle \uparrow \colon L/{\sim }\to \operatorname {Filter} (L)}
↓
:
L
/
∼
→
Ideal
(
L
)
{\displaystyle \downarrow \colon L/{\sim }\to \operatorname {Ideal} (L)}
가 존재하며, 항상
↑
(
A
∨
L
/
∼
B
)
=
↑
A
∩
↑
B
=
↑
A
∧
Filter
(
L
)
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\vee _{L/{\sim }}B)=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } B=\mathop {\uparrow } A\wedge _{\operatorname {Filter} (L)}\mathop {\uparrow } B}
↓
(
A
∧
L
/
∼
B
)
=
↓
A
∩
↓
B
=
↓
A
∧
Ideal
(
L
)
↓
B
{\displaystyle \mathop {\downarrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)=\mathop {\downarrow } A\cap \mathop {\downarrow } B=\mathop {\downarrow } A\wedge _{\operatorname {Ideal} (L)}\mathop {\downarrow } B}
가 성립한다. 따라서,
(
L
/
∼
,
∨
L
/
∼
)
{\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }})}
(
L
/
∼
,
∧
L
/
∼
)
{\displaystyle (L/{\sim },\wedge _{L/{\sim }})}
가환 반군
(
Filter
(
L
)
,
∧
Filter
(
L
)
)
{\displaystyle (\operatorname {Filter} (L),\wedge _{\operatorname {Filter} (L)})}
(
Ideal
(
L
)
,
∧
Ideal
(
L
)
)
{\displaystyle (\operatorname {Ideal} (L),\wedge _{\operatorname {Ideal} (L)})}
동형 이다 (격자 로서의 동형 일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나
A
∨
L
/
∼
(
A
∧
L
/
∼
B
)
=
A
{\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}(A\wedge _{L/{\sim }}B)=A}
만을 보여도 좋다.
∧
L
/
∼
{\displaystyle \wedge _{L/{\sim }}}
↑
(
A
∧
L
/
∼
B
)
⊇
↑
{
a
∧
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
=
↑
A
∨
Filter
(
L
)
↑
B
⊇
↑
A
{\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)\supseteq \mathop {\uparrow } \{a\wedge b\colon a\in A,\;b\in B\}=\mathop {\uparrow } A\vee _{\operatorname {Filter} (L)}\mathop {\uparrow } B\supseteq \mathop {\uparrow } A}
이므로,
↑
(
A
∨
L
/
∼
(
A
∧
L
/
∼
B
)
)
=
↑
A
∩
↑
(
A
∧
L
/
∼
B
)
=
↑
A
{\displaystyle \mathop {\uparrow } (A\vee _{L/{\sim }}(A\wedge _{L/{\sim }}B))=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\uparrow } (A\wedge _{L/{\sim }}B)=\mathop {\uparrow } A}
이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다.
특히, 분배 격자 와 모듈러 격자 는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 분배 격자 나 모듈러 격자 가 될 필요는 없다. 즉, 분배 격자 의 다양체와 모듈러 격자 의 다양체는 허용 몫 가능 다양체이지만, 강하게 허용 몫 가능 다양체가 아니다.[5] :40 [1] 격자 는 두 원소 격자들의 직접곱 의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 동형 이기 때문이다.[5] :40, Theorem 3
상대 여원 격자 위의 모든 허용 관계는 합동 관계 이다.[2] :308, Theorem 5 합동 관계 인 분배 격자 는 상대 여원 격자 이다.[2] :310, Corollary 2
모든 크기 3 이상의 격자 는, 합동 관계 가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.[2] :308, Corollary 1
↑ 가 나 Chajda, Ivan; Radeleczki, Sándor (2014). “Notes on tolerance factorable classes of algebras”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum》 (영어) 80 (3-4): 389–397. doi :10.14232/actasm-012-861-x . ISSN 0001-6969 . MR 3307031 . S2CID 85560830 . Zbl 1321.08002 . ↑ 가 나 다 라 마 바 Chajda, Ivan; Niederle, Josef; Zelinka, Bohdan (1976). “On existence conditions for compatible tolerances”. 《Czechoslovak Mathematical Journal》 (영어) 26 (101): 304–311. doi :10.21136/CMJ.1976.101403 . ISSN 0011-4642 . MR 0401561 . Zbl 0333.08006 . ↑ Chajda, Ivan; Czédli, Gábor; Halaš, Radomír (2013). “Independent joins of tolerance factorable varieties”. 《Algebra Universalis》 (영어) 69 (1): 83–92. arXiv :1207.1732 . doi :10.1007/s00012-012-0213-0 . ISSN 0002-5240 . MR 3029971 . Zbl 1295.08006 . ↑ Schein, Boris M. (1987). “Semigroups of tolerance relations”. 《Discrete Mathematics》 (영어) 64 : 253–262. doi :10.1016/0012-365X(87)90194-4 . ISSN 0012-365X . MR 0887364 . Zbl 0615.20045 . ↑ 가 나 다 Czédli, Gábor (1982). “Factor lattices by tolerances”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum》 (영어) 44 : 35–42. ISSN 0001-6969 . MR 0660510 . Zbl 0484.06010 . ↑ Grätzer, George; Wenzel, G. H. (1990). “Notes on tolerance relations of lattices”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum》 (영어) 54 (3-4): 229–240. ISSN 0001-6969 . MR 1096802 . Zbl 0727.06011 . ↑ Grätzer, George (2011). 《Lattice Theory: Foundation》 (영어). Basel: Springer. doi :10.1007/978-3-0348-0018-1 . ISBN 978-3-0348-0017-4 LCCN 2011921250 . MR 2768581 . Zbl 1233.06001 .
![{\displaystyle f_{A}[C_{1}\times \cdots \times C_{n}]\subseteq f_{A/{\sim }}(C_{1},\dots ,C_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da23fa2155c0748993c506acb3e3340c55a5ebca)
