닫힌 몰입: 두 판 사이의 차이
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) |
||
2번째 줄: | 2번째 줄: | ||
== 정의 == |
== 정의 == |
||
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math>, <math>X</math> 사이의 사상 <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여 다음 |
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math>, <math>X</math> 사이의 사상 <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''닫힌 몰입'''이라고 한다. |
||
* <math>f</math>는 <math>f(Y)</math>와 <math>Y</math> 사이의 [[위상 동형]]이며, <math>f(Y)</math>는 [[닫힌집합]]이며, <math>f^{\#}\colon\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y</math>는 [[전사 사상]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|85}} (이는 모든 점 <math>x\in X</math>에서 [[줄기 (수학)|줄기]] 사상 <math>\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{Y,x}</math>가 [[전사 함수]]인 것과 동치이다.) |
|||
* <math>f(Y)</math>가 <math>Y</math>와 [[위상 동형]]이다. |
|||
* <math>X</math> 속의 임의의 아핀 [[열린집합]] <math>\operatorname{Spec}A\hookrightarrow X</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\operatorname{Spec}A) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i)</math>가 되는 어떤 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i \subseteq A</math>가 존재한다. |
|||
* <math>f(Y)</math>는 [[닫힌집합]]이다. |
|||
* <math>X</math> 위의 어떤 한 아핀 [[열린 덮개]] <math>X =\textstyle\bigcup_{i\in I}\operatorname{Spec}A_i</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\operatorname{Spec}A_i) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i_i)</math>가 되는 어떤 [[아이디얼]]들 <math>\mathfrak i_i \subseteq A_i</math>가 존재한다. |
|||
* <math>f^{\#}\colon\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y</math>는 [[전사 사상]]이다. (이는 모든 점 <math>x\in X</math>에서 [[줄기 (수학)|줄기]] 사상 <math>\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{Y,x}</math>가 [[전사 함수]]인 것과 동치이다.) |
|||
* 어떤 [[준연접]] [[아이디얼 층]] <math>\mathcal I \subseteq\mathcal O_X</math>에 대하여, <math>f_*\mathcal O_Y = \mathcal O_X/\mathfrak I</math>이며, 이는 스킴의 [[동형 사상]] <math>Z \cong \operatorname{\underline{Proj}}(\mathcal O_X/\mathcal I)</math>을 정의한다. (여기서 <math>\operatorname{\underline{Proj}}</math>는 [[상대 사영 스펙트럼]]이다.) |
|||
스킴 <math>X</math>의 '''닫힌 부분 스킴'''({{llang|en|closed subscheme}})은 <math>X</math> 위의 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}/X</math>에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|85}} 즉, 두 닫힌 몰입 <math>f\colon Y\to X</math>, <math>f'\colon Y'\to X</math>에서, <math>f'=i\circ f</math>인 동형 <math>i\colon Y\to Y'</math>이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다. |
스킴 <math>X</math>의 '''닫힌 부분 스킴'''({{llang|en|closed subscheme}})은 <math>X</math> 위의 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}/X</math>에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|85}} 즉, 두 닫힌 몰입 <math>f\colon Y\to X</math>, <math>f'\colon Y'\to X</math>에서, <math>f'=i\circ f</math>인 동형 <math>i\colon Y\to Y'</math>이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다. |
2019년 1월 28일 (월) 08:24 판
스킴 이론에서, 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역을 공역의 닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다.
정의
스킴 , 사이의 사상 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.
- 는 와 사이의 위상 동형이며, 는 닫힌집합이며, 는 전사 사상이다.[1]:85 (이는 모든 점 에서 줄기 사상 가 전사 함수인 것과 동치이다.)
- 속의 임의의 아핀 열린집합 에 대하여, 가 되는 어떤 아이디얼 가 존재한다.
- 위의 어떤 한 아핀 열린 덮개 에 대하여, 가 되는 어떤 아이디얼들 가 존재한다.
- 어떤 준연접 아이디얼 층 에 대하여, 이며, 이는 스킴의 동형 사상 을 정의한다. (여기서 는 상대 사영 스펙트럼이다.)
스킴 의 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 위의 스킴의 범주 에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.[1]:85 즉, 두 닫힌 몰입 , 에서, 인 동형 이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.
성질
함의 관계
모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).
연산에 대한 닫힘
가 주어졌다고 하자. 만약 가 닫힌 몰입이며, 가 분리 사상이라면, 역시 닫힌 몰입이다.
두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.
스킴 상
스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 스킴
- 닫힌 몰입 . 또한, 어떤 스킴 사상 에 대하여 라고 하자.
이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.
- 임의의 스킴 및 닫힌 몰입 및 스킴 사상 에 대하여, 만약 라면, 인 스킴 사상 이 존재한다.
모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.)
특히, 열린 부분 스킴의 스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.
예
임의의 가환환 및 그 아이디얼 에 대하여, 몫환 준동형 에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 는 닫힌 몰입이다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
외부 링크
- “Closed subscheme”. 《nLab》 (영어).
- “Closed immersion of schemes”. 《nLab》 (영어).