군 표현론에서, 사영 표현(射影表現, 영어: projective representation)은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
-벡터 공간 ![{\displaystyle V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
- 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
그렇다면,
의
위의
-선형 사영 표현은 군 준동형
![{\displaystyle G\to \operatorname {PGL} (V;K)=\operatorname {GL} (V;K)/K^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc65a65f7641d59e7ac4bd024915b94c89026fb)
이다. 여기서
는 사영 선형군이다.
다음이 주어졌다고 하자.
![{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1dfbdbc9f282a890a4539ce701c2029c1e1820)
-힐베르트 공간 ![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
그렇다면,
의 사영 유니터리 표현(射影unitary表現, 영어: projective unitary representation)은 연속 함수인 군 준동형
![{\displaystyle G\to \operatorname {PU} (H)=\operatorname {U} (H)/\mathbb {K} ^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6b1608dfae7a674374a106f06889b3385f6612)
이다. 여기서
는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.
모든 (선형) 표현
![{\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e60660527a979ddc81015da1fb27f6f9662ee)
이 주어졌을 때, 몫군 사상
![{\displaystyle q\colon \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d7a3212dc80fadb50f7f115575fd8edac1af15)
을 통하여 사영 표현
![{\displaystyle G\to \operatorname {PGL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a757a9e3286c697e0e657fb7f8998e85634b5a)
을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.
반대로, 사영 표현
![{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {PGL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7fa249c14eaaac78c3f87fa8cd73f92525c501)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자.
![{\displaystyle H=G\times _{\pi ,q}\operatorname {GL} (V;K)=\{(g,T)\in G\times \operatorname {GL} (V;K)\colon \pi (g)=q(T)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867447aa02758fd4e667030ab46b6cc203cde06e)
이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}H&{\overset {\rho _{H}}{\to }}&\operatorname {GL} (V;K)\\{\scriptstyle \phi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \phi }&&{\scriptstyle \color {White}q}\downarrow {\scriptstyle q}\\G&{\underset {\rho }{\to }}&\operatorname {PGL} (V;K)\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3a917060f5dfe6ca92371885f50ec3c5d13ad6)
이에 따라서, 군 준동형
![{\displaystyle \rho _{H}\colon H\to \operatorname {GL} (V;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f614a651257567940b9b3ee44a3f567b167a441)
![{\displaystyle \rho _{H}\colon (g,T)\mapsto T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8d6529efe84495f3c288de8cfe306c0706c677)
이 존재한다. 또한, 군 준동형
![{\displaystyle \phi \colon H\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f1f099f4449260914a3a63eaa93f0007d8d6ca)
![{\displaystyle \phi \colon (g,T)\mapsto g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a914c726fcd9cf81610b74a4303e9ef4744acfc)
은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은
![{\displaystyle H\geq \operatorname {Z} (H)\geq \ker \phi =\{(1_{G},\alpha 1_{V})\colon \alpha \in K^{\times }\}\cong K^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c81e43031e2195ea0cdae6e9e6d0a6673185bb)
이다. 즉,
는
의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to K^{\times }\to H\to G\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c7407d122cc6245031a4b784d97f0858f142f2)
리 군
의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군
의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군
의 사영 유니터리 표현
![{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {PU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16f95f7addcba993707197b5edc881cabc7cb5e)
이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현
을 찾을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}G&{\overset {\rho }{\to }}&\operatorname {PU} (n)\\\uparrow &&\uparrow \\{\tilde {G}}&{\underset {\tilde {\rho }}{\to }}&\operatorname {U} (n)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b03422e253885045e29f6ee6adf68840848ec59)
무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 바르그만 정리(영어: Bargmann’s theorem)에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지
가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.
특수 직교군
의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 범피복군인 스핀 군
![{\displaystyle 1\to \operatorname {Cyc} (2)\cong \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n))\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1\qquad (n\geq 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4608b9e42dbb7dcec67ef3d1e3c7f2df8b7af0)
의 유니터리 표현으로부터 유도된다.
범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현
[편집]
아벨 리 군
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )\colon \mathbf {x} ,\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f45531992c66f8a90f66acaea58f41651be3c0)
의, 르베그 공간
위의 다음과 같은 사영 표현
![{\displaystyle \rho \colon \mathbb {R} ^{2n}\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc7a812022302a85540088d4bac9a3fc86b5328)
을 생각하자.
![{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,\mathbf {0} )f(\mathbf {y} )=f(\mathbf {y} -\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df4a94a611f5ba681110972a4a8bd221cced54d)
![{\displaystyle \rho (\mathbf {0} ,\mathbf {p} )f(\mathbf {y} )=\exp(\mathrm {i} \mathbf {p} \cdot \mathbf {y} )f(\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82213152e81d5a71bad49a3e96f4d34dbaed4c30)
이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값 1의 복소수이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다.
은 단일 연결 공간이다 (스스로의 범피복군이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은
의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며,
의 중심 확장인 하이젠베르크 군
![{\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {Heis} (n;\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{2n}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ef37788159a8c0699b9bedc66121bdd2532fea)
의 유니터리 표현으로 유도된다.
바르그만 정리는 발렌티네 바르그만(독일어: Valentine Bargmann, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다.[1]
- ↑ Bargmann, Valentine (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 59: 1–46.