범주론에서 내림 데이터(-data, 영어: descent datum, 프랑스어: donnée de descente)는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(영어: descent theory, 프랑스어: théorie de la descente)이라고 한다.
체를 통한 정의[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 작은 범주
![{\displaystyle {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
위의 올범주 ![{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62135fc4256f88dba1123c6e26a4261665235e07)
속의 대상 ![{\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5c211124b5a799bd495707f9d5af47a91dda75)
위의 체 ![{\displaystyle S\subseteq \hom _{\mathcal {C}}(-,U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabaf1cc1945b9febae9c2311396423042f10460)
그렇다면,
는 함자
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39d2d4adf3a889370b54b2709ad8d3acea19adc)
![{\displaystyle X\mapsto S(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6848e9e8d68dcb6acfe9e24fe055d098d7c3fe4c)
![{\displaystyle \left(X{\xrightarrow {f}}Y\right)\mapsto \left(S(Y){\xrightarrow {f^{*}}}S(X)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83f99380188dffedae4abd3e80ef10c34f6b1b9)
로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주
![{\displaystyle \Pi _{S}\colon \operatorname {Elem} (S)\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de4cbbae615bc01005566772d2f806eac281f55)
를 정의할 수 있다. 여기서
의 대상
는
및
로 구성된다. 즉,
위의 올은
이다.
위의 내림 데이터는
-올범주의 사상
![{\displaystyle F\colon \operatorname {Elem} (S)/{\mathcal {C}}\to {\mathcal {F}}/{\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd98d29b98e9104074c046e1e20f9c51d6be5432)
이다. 즉, 가환 그림
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Elem} (S)&\to &{\mathcal {F}}\\&\searrow &\downarrow \\&&{\mathcal {C}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddffe392ce12676b79360d67a5bdd83b1d8f3a4e)
을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.
구체적 정의[편집]
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위치
![{\displaystyle {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
위의 올범주 ![{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62135fc4256f88dba1123c6e26a4261665235e07)
의 대상 ![{\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5c211124b5a799bd495707f9d5af47a91dda75)
의 덮개체 ![{\displaystyle \{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59257611aae2a509b14658ca3f5fdc1401a2045)
그렇다면,
위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각
에 대하여, 대상 ![{\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cbb38dc768d322b5b5839d6f1657a67be8229c)
- 임의의 사상
에 대하여 (
),
인 데카르트 사상 ![{\displaystyle \phi _{u}\colon F_{i}\to F_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4e2055a08d0e8879c0fa31774822257ac620b3)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
일 때, ![{\displaystyle \phi _{\operatorname {id} _{U_{i}}}=\operatorname {id} _{F_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9f7a07820c4cf94a75b266c3c098113a995132)
- 임의의
에 대하여 (
,
), ![{\displaystyle \phi _{v\circ u}=\phi _{v}\circ \phi _{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254061f55b0fa1101e640cf95cf4864a9d2559d8)
만약 올범주
의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림
이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여)
는 (유일하게 결정되는) 동형 사상
으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.
덮개를 통한 정의[편집]
체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합
에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 모든 당김을 갖는 작은 범주
![{\displaystyle {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
위의 올범주 ![{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62135fc4256f88dba1123c6e26a4261665235e07)
의 대상 ![{\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5c211124b5a799bd495707f9d5af47a91dda75)
를 공역으로 하는 사상들의 집합
.
그렇다면,
위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 각
및 사상
에 대하여, 대상 ![{\displaystyle F_{i,f}\in {\mathcal {F}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a044ec49eb06d89f806933b5cee293d80f33880d)
- 각 가환 오각형
에 대하여,
인 데카르트 사상 ![{\displaystyle \phi _{i,f,u,j,f'}\colon F_{i,f}\to F_{j,f'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99759e4d517273b025f6d40730642b91e6831d0d)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
에 대하여, ![{\displaystyle \phi _{i,f\operatorname {id} _{X},i,f}=\operatorname {id} _{F_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4aff4d45aed769ca877b6ac65db8291fe5c7f8)
- 임의의 당김
에 대하여, ![{\displaystyle F_{i,\operatorname {proj} _{U_{i}}}=F_{j,\operatorname {proj} _{U_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1a1bb7bdcc2f89980e2a7cd4f2694da3c60199)
- 임의의 가환 그림
에 대하여, ![{\displaystyle \phi _{j,f',v,k,f''}\circ \phi _{i,f,u,j,f'}=\phi _{k,f'',v\circ u,i,f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92b60fa7ce96f8b5b9d608fda2ee65a2ac71c9f)
올범주
의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각
및
에 대하여 올림
![{\displaystyle f^{*}X{\xrightarrow {\phi _{f,X}}}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3156f97aa08e1d887625846f7a32a7fd230dc6)
가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 각
에 대하여, 대상 ![{\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cbb38dc768d322b5b5839d6f1657a67be8229c)
- 각
및 당김
에 대하여, 동형 사상 ![{\displaystyle \phi _{ij}\colon \operatorname {proj} _{U_{j}}^{*}F_{j}\to \operatorname {proj} _{U_{i}}^{*}F_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c95208f94acb909deeb2bea66f96f5f3a3f93ef)
이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
- 모든
에 대하여
이며,
이다.
- (공사슬 조건 영어: cocycle condition) 모든
에 대하여,
. 여기서
는
의 각종 사영 사상이다.
그렇다면, 임의의 사상
에 대하여
인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.
효과적 내림[편집]
올범주
및
위의 그로텐디크 위상 및 대상
및 그 덮개
에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.
위의 올 ![{\displaystyle {\mathcal {E}}(U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e660428462b87a5be6fa2897aea416026ca32a3a)
- 덮개
에 대한 내림 데이터의 범주 ![{\displaystyle \operatorname {Desc} (\{U_{i}\to U\}_{i\in I})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe93c99745f67cac697ec45d56c799a96affacbb)
또한,
위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자
![{\displaystyle {\mathcal {E}}(U)\to \operatorname {Desc} (\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccec67d3bf2a3a08cfe45312680fedcb17469131)
가 존재한다. 이 함자는
에 대하여,
에 대하여
![{\displaystyle F_{i}=\iota _{i}^{*}F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fd131951a828002dbf10f4e7ac780a8fc54ae4)
를 대응시킨다.
만약 이 함자
가 충실충만한 함자라면, 덮개
가 충실충만한 내림(充實充滿-, 영어: fully faithful descent)을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개
가 효과적 내림(效果的-, 영어: effective descent)을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터
속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)
올범주
및
위의 그로텐디크 위상에 대하여,
- 만약
위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면,
를 준스택(영어: prestack)이라고 한다.
- 만약
위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면,
를 스택(영어: stack)이라고 한다.
연속 함수[편집]
위상 공간의 범주의 화살표 범주
를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자
![{\displaystyle \operatorname {cod} \colon \operatorname {Top} ^{\to }\to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fc77a7eb1480dd8376ca0b3a72d29dc243025b)
에 의하여, 이는 올범주를 이루며,
위의 올은 조각 범주
이다.
이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉,
은
위의 스택을 이룬다.
준연접층[편집]
준연접층
는 스킴의 범주
위의 올범주를 이룬다.
위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서,
는 (fpqc 위상을 부여한)
위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.
보다 일반적으로, 임의의 스킴
에 대하여,
는 조각 범주
위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.
내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권[1]에서 도입되었다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]