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이 문서는
순서론과
조합론에서, 결합 관계(
영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 관한 것입니다.
결합법칙(
영어: associativity)을 만족시키는 일반적인
대수에 대해서는
대수 (환론) 문서를 참고하십시오.
순서론에서 근접 대수(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.
국소 유한 부분 순서 집합(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합
가 주어지고, 임의의
에 대하여 폐구간
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1989ce68e272408fd0dbcee1fc314407d3952e0)
가 유한집합이라면,
를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.
국소 유한 부분 순서 집합
와, (단위원을 갖는) 가환환
가 주어졌다고 하고,
가
속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자.
위의,
계수의 근접 대수
는
꼴의 함수들의 집합이다.
에 대하여, 편의상
로 쓰자. 또한,
는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉,
를 (무한할 수 있는) 행렬
![{\displaystyle (f)_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ee2cb3e1ddc80132023a5299061134e2341eab)
로 생각할 수 있다.
근접 대수
위에는 다음과 같은
-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.
- (덧셈)
![{\displaystyle (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115d0cec58ec3b2241b07f30bdf227e7c2e10acd)
- (곱셈)
![{\displaystyle (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aacdbb910e79ddb2a7cfde3ce9df3e47d5483e)
덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수
는
-가환 대수를 이룬다. 즉,
는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형
![{\displaystyle R\hookrightarrow I(P;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cd31788fa9dad40bf96e7333e1aa6188b486e9)
![{\displaystyle r\mapsto ([a,b]\mapsto r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7222aa1f4729e116dd1e86480e0e3b01675f02d)
이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수
![{\displaystyle \zeta \in I(P;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bdb912d98fb4619c929fd7345ae2a1d764209b)
![{\displaystyle \zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c24e9fcd8d50dde4c8390c58454ba8da35cb03)
이며, 이를 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다.
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.
또한, 근접 대수
위에는 합성곱(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산
이 존재한다.
![{\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02310c4472d1dffc754a4af0f79d478e15741055)
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,
![{\displaystyle (f*g)_{ab}=\sum _{x}f_{ax}g_{xb}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210478bd00a93cc20f3ec6c3838ac5d715d11b01)
가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.
합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수
이다.
![{\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f6e65dafbe8b0cded93f6c3c8221169cfe8bce)
이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수
는
위의 단위 결합 대수를 이룬다.
체 계수의 근접 대수의 원소
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
- 임의의
에 대하여
이다.
제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수
라고 하며 다음과 같다.
![{\displaystyle \mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum _{a\leq x<b}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7ea008b2e2a22cb8ad95c991d424b72b1a0bf8)
![{\displaystyle \zeta *\mu =\mu *\zeta =\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c87dc6af1f9d722ef56be29c4933474dcbce83)
국소 유한 부분 순서 집합
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
![{\displaystyle |\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b07a7b32f14253fc05a4ac0edfb00877ebbf4c)
(
가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수
는
위의,
값을 갖는 함수의 집합
위에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle (f*\phi )(a)=\sum _{a\leq b}f(a,b)\phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa86e480c82245a8d014424061fcf1da3bd37d7a)
즉,
는 환
의 왼쪽 가군을 이룬다.
마찬가지로, 만약
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
![{\displaystyle |\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f3dcf9b601a9aae1c5d7706938aa8a0495017c)
(
가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수
는
위의,
값을 갖는 함수의 집합
위에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle (f*\phi )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)f(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a6359af6b4b00f1e396ebe0146191ab0fc46d3)
즉,
는 환
의 오른쪽 가군을 이룬다.
만약
![{\displaystyle \chi =f*\phi \qquad (\chi ,\phi \in R^{P},\;f\in I(P;R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc17c34b3223f149655e5c5dd13e62758b9deea)
이며,
가 합성곱 아래 역원을 갖는다면
![{\displaystyle \phi =f^{-1}*\chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf551ecc35aa683f3291818507641048313c3c5)
가 된다. 특히, 만약
일 경우
이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
![{\displaystyle \chi (a)=(\zeta *\phi )(a)=\sum _{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu *\chi )(a)=\sum _{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7813edfe172a5d8232d3fe43bd9ad7911ebec66b)
마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]
![{\displaystyle \chi (b)=(\phi *\zeta )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi *\mu )(b)=\sum _{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a469fa581aceecaa0226bb7a41fa08416a8bb5c)
이를 뫼비우스 반전 공식(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.
대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상
이다.
집합 ![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) |
부분 순서 ![{\displaystyle a\leq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41558abc50886fdf38817495b243958d7b3dd39b) |
뫼비우스 함수 ![{\displaystyle \mu (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac98d124f10fcf859f55cede43bb62bdc78e7a59) |
반전 공식
|
양의 정수의 집합 ![{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628778fcf14bd3629e9b9ebacffa172b0ad6ce41) |
는 의 약수: ![{\displaystyle a\mid b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab1c16db0f00b6cc26bcd7dae49514f5aadfff) |
( 는 수론에서의 뫼비우스 함수) |
뫼비우스 반전 공식
|
음이 아닌 정수의 집합 ![{\displaystyle \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed) |
![{\displaystyle a\leq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41558abc50886fdf38817495b243958d7b3dd39b) |
![{\displaystyle {\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1<b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d7678193bf9f6df3ff71efd7c2f08e0ace2723) |
유한 차분의 기본 정리 ( 는 유한 차분, )
|
유한 집합 의 멱집합 ![{\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb9a5a97c7cb3db567ed6d470b51883427bb06a) |
![{\displaystyle a\subseteq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a752dca320d56666f7bc08a7e5fc082569e1881) |
![{\displaystyle (-1)^{|b\setminus a|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24de335107ab5272245877e76829cf0331fe8a0) |
포함배제의 원리
|
유한 집합 의 분할들의 집합 |
가 보다 더 세밀한 분할 |
. 는 의 블록 수, 는 의 블록 수, 는 정확하게 개의 -블록들을 포함하는 -블록들의 수 |
|
잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.[1]