H-공간

H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 $\mu \colon X\times X\to X$
• 항등원 $e\in X$: 모든 $x\in X$에 대해 $x\mapsto \mu (x,e)$와 $x\mapsto \mu (e,x)$가 모두 항등 함수 $\operatorname {id} _{x}$와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다.

쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 $\mu \colon X\to X\vee X$
• 항등원 $e\in X$

예와 성질

위상군

위상군 $G$와 그 연산 $G\times G\to G$는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 $\mathbb {S} ^{0}$, $\mathbb {S} ^{1}$, $\mathbb {S} ^{3}$, $\mathbb {S} ^{7}$밖에 없다. $\mathbb {S} ^{7}$을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

$n\geq 1$일 경우 초구 $\mathbb {S} ^{n}$에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

• 0차원 세포 1개 $\bullet$. 이는 $\mathbb {S} ^{n}$의 적도 위의 한 점이다.
• $n-1$차원 세포 1개. 즉, $n-1$차원 뼈대는 초구 $\mathbb {S} ^{n-1}$이다. 이는 $\mathbb {S} ^{n}$의 적도에 해당한다.
• $n$차원 세포 2개. 이들은 각각 $\mathbb {S} ^{n}$의 북반구와 남반구에 대응한다.

적도에 있는 $n-1$차원 세포 $\mathbb {S} ^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}$에 대한 몫공간 $\mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}$을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

$w_{n}\colon \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}/\mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}$

이 몫공간 함수 $w_{n}$을 연산자로 삼아서 $\mathbb {S} ^{n}$ 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 $X$에 대하여 그 축소 현수 $\Sigma X$는 쌍대 H-공간을 이룬다. $\Sigma X=X\wedge \mathbb {S} ^{1}=(X\times \mathbb {S} ^{1})/(X\vee \mathbb {S} ^{1})$ 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

$(\operatorname {id} _{X}\wedge w_{1})\colon X\wedge \mathbb {S} ^{1}\to X\wedge (\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1})\cong (X\wedge \mathbb {S} ^{1})\vee (X\wedge \mathbb {S} ^{1})$

여기서 $\wedge$는 분쇄곱, $\vee$는 쐐기합이고, $w_{1}$은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 $\Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\simeq \mathbb {S} ^{n}$이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 $\Omega X$는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, $\Omega X$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

$m\colon (\gamma ,\gamma ')\mapsto (\gamma \vee \gamma ')\circ w_{1}$

여기서

$\gamma ,\gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\to X$

$\gamma \vee \gamma '\colon \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}\to X$

$w_{1}\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$

이다.

에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군 $G$ 및 자연수 $n$에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$는 다른 공간의 고리 공간이다.

$K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 $G$ 및 $n\geq 3$의 경우 피터슨 공간 $P(G,n)$는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

$P(G,n)\simeq \Sigma P(G,n-1)$

그러므로 피터슨 공간 $P(G,n)$은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간 $X$으로 가는 호모토피류 $[\mathbb {S} ^{n},X]_{\bullet }$로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 $h\colon \mathbb {S} ^{n}\vee \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}$에 의해 정의된다:

$[f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(h(x))$

일반적으로, 쌍대 H-공간 $(X,\mu )$에서 공간 $Y$로 가는 호모토피류 $[X,Y]_{\bullet }$ 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$[f]\cdot [g]\colon x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))$

거꾸로 공간 $X$에서 H-공간 $(Y,\mu )$로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$[f]\cdot [g]\colon x\mapsto \mu (f(x),g(x))$

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 $[X,Y]_{\bullet }$은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 $\Sigma$와 고리 공간 $\Omega$는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

$[X,\Omega Y]_{\bullet }\cong [\Sigma X,Y]_{\bullet }$

특히, $\Sigma \mathbb {S} ^{n-1}\cong \mathbb {S} ^{n}$이므로 호모토피 군에 대해 $\pi _{n-1}(\Omega X)\cong \pi _{n}(X)$가 성립한다.

역사

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.