파레토 분포
확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수
x m > 0 scale (real )shape
지지집합
x
∈
[
x
m
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )}
확률 밀도
α
x
m
α
x
α
+
1
for
x
≥
x
m
{\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x\geq x_{m}}
누적 분포
1
−
(
x
m
x
)
α
for
x
≥
x
m
{\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }{\text{ for }}x\geq x_{m}}
기댓값
{
∞
for
α
≤
1
α
x
m
α
−
1
for
α
>
1
{\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}}
최빈값
x
m
{\displaystyle x_{\mathrm {m} }}
분산
{
∞
for
α
∈
(
1
,
2
]
x
m
2
α
(
α
−
1
)
2
(
α
−
2
)
for
α
>
2
{\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}
비대칭도
2
(
1
+
α
)
α
−
3
α
−
2
α
for
α
>
3
{\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3}
첨도
6
(
α
3
+
α
2
−
6
α
−
2
)
α
(
α
−
3
)
(
α
−
4
)
for
α
>
4
{\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4}
엔트로피
ln
(
x
m
α
)
+
1
α
+
1
{\displaystyle \ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1}
적률생성함수
α
(
−
x
m
t
)
α
Γ
(
−
α
,
−
x
m
t
)
for
t
<
0
{\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0}
특성함수
α
(
−
i
x
m
t
)
α
Γ
(
−
α
,
−
i
x
m
t
)
{\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}
통계학 에서 파레토 분포 (Pareto分布, 영어 : Pareto distribution )는 사회과학 에서 널리 볼 수 있는 확률분포 이다.
파레토 분포 는 다음 성질을 만족시키는 확률변수
X
{\displaystyle X}
확률분포 이다.
Pr
(
X
>
x
)
=
{
(
x
m
x
)
α
x
≥
x
m
,
1
x
<
x
m
{\displaystyle \Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} }\end{cases}}}
즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수
x
m
,
α
{\displaystyle x_{\text{m}},\alpha }
x
m
>
0
{\displaystyle x_{m}>0}
X
{\displaystyle X}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
파레토 지표 라는 매개변수이다.
α
{\displaystyle \alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
균등분포 에 가깝고, 반대로
α
{\displaystyle \alpha }
디랙 델타 함수 에 가까워진다.
빌프레도 파레토 는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 (파레토 법칙 ), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.[ 1]
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299–345.
M. O. Lorenz (1905). “Methods of measuring the concentration of wealth”. 《Publications of the American Statistical Association 》 9 (70): 209–219. Bibcode :1905PAmSA...9..209L . doi :10.2307/2276207 . Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Originally published in 1896). In: Busino G, editor. Oevres Completes de Vilfredo Pareto . Geneva: Librairie Droz. pp. 1–5.
Pareto, V. (1895). La legge della domanda. Giornale degli Economisti , 10, 59–68. English translation in Rivista di Politica Economica , 87 (1997), 691–700.
Pareto, V. (1897). Cours d'économie politique . Lausanne: Ed. Rouge.
![{\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a48530270e78ce9ef94761a1aa6e53a6c9f6050)
