닫힌 몰입

스킴 이론에서, 닫힌 몰입(-沒入, 영어: closed immersion)은 스킴 사상 가운데, 정의역을 공역의 닫힌집합으로 대응시키며, 정의역의 정칙 함수가 국소적으로 공역에 확장될 수 있게 하는 것이다.

정의

스킴 $Y$, $X$ 사이의 사상 $f\colon Y\to X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 닫힌 몰입이라고 한다.

• $f$는 $f(Y)$와 $Y$ 사이의 위상 동형이며, $f(Y)$는 닫힌집합이며, $f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$는 전사 사상이다.^:85 (이는 모든 점 $x\in X$에서 줄기 사상 ${\mathcal {O}}_{X,x}\to {\mathcal {O}}_{Y,x}$가 전사 함수인 것과 동치이다.)
• $X$ 속의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname {Spec} A\hookrightarrow X$에 대하여, $f^{-1}(\operatorname {Spec} A)=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}})$가 되는 어떤 아이디얼 ${\mathfrak {i}}\subseteq A$가 존재한다.
• $X$ 위의 어떤 한 아핀 열린 덮개 $X=\textstyle \bigcup _{i\in I}\operatorname {Spec} A_{i}$에 대하여, $f^{-1}(\operatorname {Spec} A_{i})=\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {i}}_{i})$가 되는 어떤 아이디얼들 ${\mathfrak {i}}_{i}\subseteq A_{i}$가 존재한다.
• 어떤 준연접 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$에 대하여, $f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}$이며, 이는 스킴의 동형 사상 $Z\cong \operatorname {\underline {Proj}} ({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})$을 정의한다. (여기서 $\operatorname {\underline {Proj}}$는 상대 사영 스펙트럼이다.)

스킴 $X$의 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 $X$ 위의 스킴의 범주 $\operatorname {Sch} /X$에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.^:85 즉, 두 닫힌 몰입 $f\colon Y\to X$, $f'\colon Y'\to X$에서, $f'=i\circ f$인 동형 $i\colon Y\to Y'$이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

성질

함의 관계

모든 닫힌 몰입은 유한 사상이며, 분리 사상이며, 준콤팩트 함수이다 (즉, 연속 함수로서, 콤팩트 열린집합의 원상이 콤팩트 열린집합이다).

연산에 대한 닫힘

임의의 세 스킴 $X$, $Y$, $Z$ 및 스킴 사상

$X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z$

가 주어졌다고 하자. 만약 $g\circ f$가 닫힌 몰입이며, $g$가 분리 사상이라면, $f$ 역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 합성은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

스킴 상

스킴 사상 $f\colon X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$의 스킴 상(영어: scheme-theoretic image)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 $Z$
• 닫힌 몰입 $i\colon Z\to Y$. 또한, 어떤 스킴 사상 $g\colon X\to Z$에 대하여 $f=i\circ g$라고 하자.

이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 스킴 $Z'$ 및 닫힌 몰입 $i'\colon Z'\to Y$ 및 스킴 사상 $g'\colon X\to Z'$에 대하여, 만약 $f=i'\circ g'$라면, $i=i'\circ h$인 스킴 사상 $h\colon Z\to Z'$이 존재한다.

모든 스킴 사상은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 동형 사상 아래 유일하다.)

특히, 열린 부분 스킴의 스킴 폐포(영어: scheme-theoretic closure)는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

예

임의의 가환환 $R$ 및 그 아이디얼 ${\mathfrak {i}}\subseteq R$에 대하여, 몫환 준동형 $q\colon R\twoheadrightarrow R/{\mathfrak {i}}$에 대응하는, 아핀 스킴 사이의 스킴 사상 $\operatorname {Spec} q\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {i}})\to \operatorname {Spec} R$는 닫힌 몰입이다.

외부 링크

• “Closed subscheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Closed immersion of schemes”. 《nLab》 (영어).