대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 파라콤팩트 공간
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
차원 실수 벡터 다발 ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb4f75aeea354cf822f3ad11ce4e497ec068572)
그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구
를 올로 하는 올다발
을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간
이라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {Th} (E):={\frac {\operatorname {Sph} (E)}{\{(x,\infty _{x})\colon x\in X\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62150268e0141196fc5130c538be826673567855)
내적을 통한 정의[편집]
위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적
![{\displaystyle \eta \in \Gamma (E^{*}\otimes E^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0070b619ac18f349d912e188592f887f03d76483)
을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의
에 대하여 올
의 닫힌 공
![{\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a62d4b0351ac0606561b4414f1d5d85edeb43f8)
및 초구
![{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f6a7f7b36e444517be60f950f9100a81573ad7)
을 정의할 수 있다. 이 둘은
위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )\subseteq \operatorname {Ball} (\pi )\subseteq E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d0bfed8e3401bd173ea18eef3f2b24b043805a)
톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )={\frac {\operatorname {Ball} (\pi )}{\operatorname {Sph} (\pi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f74ea29177dd7caee3d3d0b688badd801ee842a)
이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은
의 동치류이다.
연산에 대한 호환[편집]
두 파라콤팩트 공간
,
과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc91fed6c83d7d77f0756306608f8f4309538f)
![{\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cf7056685a4bb0a9c45934f0eac945c9eb03b8)
가 주어졌다고 하자. 곱공간
으로부터의 사영 사상
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{X}\colon X\times Y\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8016400ac3c6a8b2e38412d7b2791d1c3dcadbc1)
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{Y}\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ea1f3d1ef51a302a6d0e1f1d1afae41f54dec5)
을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{X}^{*}\pi \colon E\twoheadrightarrow X\times Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25cac54ab8bfbb7e20e1a3deea4425b5134aeed)
![{\displaystyle \operatorname {proj} _{X}^{*}\varpi \colon F\twoheadrightarrow X\times Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e807b2081980d47e81cddfacaa08bbc6e24678)
을 구한다. 이들의 직합을
로 표기하겠다.
![{\displaystyle \pi \boxtimes \varpi \colon \operatorname {proj} _{X}^{*}E\oplus \operatorname {proj} _{X}^{*}F\twoheadrightarrow X\times Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3feba84fbd4c459123a529da57a41158e46848d)
이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간
는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )=\operatorname {Th} (\pi )\wedge \operatorname {Th} (\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac604abdbc5b2ec0ca0e2a75e5e0b8c0ff49967)
특히, 만약
가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.
![{\displaystyle Y=\{\bullet \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7604760b8c35ec307914d92a7a8a34aeeaea3b0)
![{\displaystyle F=Y\times \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00d2ee54b3a060c445423a9fbdf95221a23f145)
그렇다면,
의 톰 공간은 초구이므로, (
) 다음을 얻는다.
![{\displaystyle \operatorname {Th} (E\oplus \mathbb {R} ^{n})=\operatorname {Th} (E)\wedge \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {\Sigma } ^{n}(\operatorname {Th} (E))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36af911bfd22303c6d20c66587f443e0a884ecd6)
여기서
은 축소 현수를
번 취한 것이다.
함자성[편집]
두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc91fed6c83d7d77f0756306608f8f4309538f)
![{\displaystyle \varpi \colon F\twoheadrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cf7056685a4bb0a9c45934f0eac945c9eb03b8)
및 연속 함수
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
위의 벡터 다발 사상
![{\displaystyle \phi \colon E\to F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e897cb706a82a7d1ad017214a5bb9b97ba1d7cf8)
가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수
![{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \operatorname {Th} (\pi )\to \operatorname {Th} (\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11eca5231321059fe719a9b09287f5efea897413)
![{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon (x,e)\mapsto (f(x),\phi (e))\qquad (e\in E_{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526d35208b392469b6195bd58a873bbb726c1c84)
![{\displaystyle \operatorname {Th} (f,\phi )\colon \infty \mapsto \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae5f361a854490f0a24741e29414b8b59af3f2f)
가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자
![{\displaystyle \operatorname {VectBun_{fin}} \to \operatorname {Top} _{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90864ede157af078411f0fb58fcb032572ab558)
를 정의한다.
호몰로지[편집]
초구 다발
의 무한대 단면을
, 영단면을
라고 적자.
톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{\bullet }(\operatorname {Th} (E))=\operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{\infty }(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(E,E\setminus s_{0}(B)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc7014d98ea9843194d6ace95f53c2d7cfb263b)
톰 동형[편집]
유한 차원 실수 벡터 다발
및 음이 아닌 정수
에 대하여, 다음과 같은
-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{k+n}(\operatorname {Th} (E);\mathbb {F} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b25641fc72b02ec40d101790c0b82a22a5250b)
여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.
톰 동형은 구체적으로 어떤 원소
![{\displaystyle \Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704bc8b83f24d3929cb33db6df2686d5d2742a66)
에 의한 합곱으로 주어진다.
![{\displaystyle \Phi \smile \colon \operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690a6240c1dd4ee0ece062dfe50958b4cbada4e0)
만약
가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환
계수에 대하여 존재한다.
![{\displaystyle \Phi \smile \pi ^{*}(-)\colon \operatorname {H} ^{k}(B;R)\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d172edecfe7b4dfbdc9146dfe3fb04c8374d2eea)
자명한 벡터 다발[편집]
파라콤팩트 공간
위의 자명한 벡터 다발
의 톰 공간을 생각하자. 이 경우
![{\displaystyle \operatorname {Ball} (\pi )=X\times \mathbb {B} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2de2a9859142161d7d8b0f1a9a610d7ba4ffaf5)
![{\displaystyle \operatorname {Sph} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b71fdfca178875bef3697ad294707ce337166e)
이며,
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n}/(X\times \{\bullet _{\mathbb {S} ^{n}}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ec5b8cf8e2d852582ead210235a3b66e32e781)
이다. 여기서
은 초구
에 부여한 임의의 밑점으로, 공
의 경계에 속한다.
만약
가
에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112eb426efd8fb88aac06c5d0283ee04b26c6a33)
가 된다. 여기서
은 위상 동형이며,
는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.
특히, 만약
일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{0}\cong X_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30f822062825941ea1f7aa780606a45aab318be)
이다.
콤팩트 공간 위의 벡터 다발[편집]
콤팩트 공간
위의 벡터 다발
의 톰 공간
은
의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.
![{\displaystyle \operatorname {Th} (\pi )\cong E^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d428dcfcee5f9f16d463a45b7d811c14d67f7ccb)
톰 스펙트럼[편집]
분류 공간
![{\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1971a52ffcdba363e67ebdb683996e3d8e40e68d)
위의 연관 벡터 다발
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31056bf82cf6dbff7e49b356a9e4340ed4fb6bd3)
의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.
![{\displaystyle \operatorname {MO} (n):=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2254b44e72cf9e6582bda7db9daae747c4aca0)
이들 사이에는 자연스러운 사상
![{\displaystyle \Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37641e178a3b04771d4ab6b0d2ccdce9b38d5772)
이 존재하여, 스펙트럼
를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.
르네 톰이 1954년에 도입하였다.[1]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]