커누스 윗화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스가 1976년에 개발한 아주 큰 수를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈은 반복되는 덧셈으로 볼 수 있고, 거듭제곱도 반복되는 곱셈으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션(반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.
윗화살표 한 개는 거듭제곱(반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.
예를 들어,
- 윗화살표 한 개는 곱셈의 반복(거듭제곱)이다
![{\displaystyle 2\uparrow 4=2*(2*(2*2))=2^{4}=16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7288ef2aa23b981d9dd89bf487ae9b2232e847c)
- 윗화살표 두 개는 거듭제곱의 반복(테트레이션)이다
![{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=65536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47899186ad1fe7d036a24623aaf17df3ba6acec0)
- 윗화살표 세 개는 테트레이션의 반복(펜테이션)이다
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 3&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow 2^{2}\\&=2\uparrow \uparrow 4\\&=2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\\&=2^{2^{2^{2}}}\\&=65536\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36be60cc646f2943f31cc4651c79624532260f2)
이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 a와 음이 아닌 정수 b,n에 대해서):
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{if }}n=1;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2e1cbace2adb782550d7a5c3fffbc4e5add62d)
덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산의 수열로 확장된다.
자연수에 의한 곱셈은 덧셈의 반복으로 정의된다:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88f765266d545e1fb8339aeff8dc2851561d15a)
예를 들면,
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\times 4&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b87bc3301aacd4e283d97c75d169eb3e7255b41)
자연수 지수
에 의한 거듭제곱은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b942d789d807bf56ca97d1ac33c12c0a04326f)
예를 들면,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb86be18173b80c0b79ce32fe545e0c70791456)
연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복(테트레이션)을 의미하는 “이중 윗화살표” 연산을 정의했다:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27decf1cf8a247dbe36dafd88666a3500f98b71)
예를 들면,
![{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5d74439aab92253979280d68454ca67c89d9c9)
여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.
이 정의에 의해서,
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5217b6f0699e9e634d31a294211ccbc027f3cd0)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757b4d90f49bf6c6c26d19e27e205d5c424c54b2)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1985e7bde58f1e22078cf13719526403f84fab)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34caec35f3b711e26f906445ac7ac801fa3d40f)
- etc.
이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복(펜테이션)을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d39a613409fc2519d2a01c8d7037a3339fd166)
잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션)을 의미한다:
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b718400232f457404a67d18a629a92dc1032a51b)
그리고 계속된다. 일반적인 규칙은
중 윗화살표 연산은 right-associative (
)중 윗화살표 연산으로 확장할 수 있다는 것이다. 기호적으로는
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b48cfbc7d740e9b979f5da316ac9096a23c2e44)
예시:
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c197272a8f7e1305f947d2c01c70877fb4b35c)
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32ba3c3cc938a21a477c059e0191e5e563d3ad4)
의 표기는 일반적으로
에서 윗화살표가 n개인 것을 나타낸다. 사실
는 하이퍼 연산으로 a [n+2] b이다. 예를 들어,
는 39 [4] 14 ("[4]"는 테트레이션을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게,
은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.
표기법[편집]
와 같은 표현에서, 거듭제곱의 표기법은 보통 지수
를 밑
의 윗 첨자로 쓴다. 하지만 많은 프로그래밍 언어나 이메일같은 환경은 윗첨자 조판을 지원하지 않는다. 이런 환경에서 선형 표기법인
를 적용했다. 윗화살표는 '다음을 지수로 올린다'는 것을 제시한다. 문자 인코딩에서는 윗화살표를 포함하지 않기 때문에 캐럿(^)을 대신해서 쓴다.
윗첨자 표기법
는 일반화에 도움이 되지 않는다, 이것이 커누스가 인라인 표기법
를 대신에 쓴 이유이다.
는 윗화살표 n개의 더 짧은 표기법이다. 따라서
이다.
윗화살표 표기법을 거듭제곱으로 쓰기[편집]
를 익숙한 윗첨자 표기법으로 쓰려고 하면 거듭제곱의 탑을 얻게 된다.
- 예:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cdd9813b6b6cfa5bd7d024e6ed63e9c705e013)
b가 변수면 (또는 너무 크면), 거듭제곱의 탑은 점들과 탑의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657de5a64d016cd2169ad6846c8a6b2dcbb75509)
이 표기법으로 계속하면,
는 각각이 위의 탑의 높이를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택으로 쓸 수 있다.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e05ce657ac9a28026c070c2e563fb95f44656b)
또 b가 변수거나 너무 클 경우에는 스택도 점들과 스택의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaf431ae1e3ae43dccbf865766fd86f401ebc8)
더 나아가서,
는 각각이 왼쪽의 스택의 개수를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택의 열로 쓸 수 있다:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c5d03624b1026b546996ac9adf722c50fa2d00)
또다시 일반적으로:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbe7a05b2b86adcc384edb1349ea7d6f72bfa1a)
이것은
을 어떤 a, n과 b에 대해서든지 (비록 이것이 분명히 더 번거롭지만) 반복되는 거듭제곱의 반복외는 거듭제곱으로 부정적으로 나타낼 수 있다는 것을 나타낸다.
테트레이션을 사용[편집]
테트레이션 표기법
는 여전히 기하학적 표현 (이것을 테트레이션의 탑이라고 부른다)을 사용하지만 이 다이어그램을 약간 간단하게 만든다.
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561a1efc3143c2442f671d6a6692d20c123581d9)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cd0c41523276344c304fee5463abd5c6d7c942)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7583fbfab215ee44047ad7a6f73adfc2d14bec85)
결국, 한 예로 네 번째 아커만 수
는 다음과 같이 나타낼 수 있다:
![{\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9167a441053a1bd1ccb22f731b252972797511fe)
일반화[편집]
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 n중 화살표 연산
이나 동동한 하이퍼 연산이 유용하다 (그리고 화살표의 개수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).
어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(커 누 스 )}}&&{\mbox{(하 이 퍼 연 산 )}}&&{\mbox{(콘 웨 이 )}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f43e91652e6de947dfa065b67dc83b7a17c5ff)
보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.[누가?]
윗화살표 표기법은 공식적으로
인 모든 정수
에 대해서 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9872a695c5d343fef3d8a699c996618a9600dc4)
이 정의는 곱셈을 기본 연산으로 두고
, 거듭제곱
을 곱셈의 반복으로, 테트레이션
을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. (이 정의는 더 기본적인 두 함수가 없는것을 제외하고 하이퍼 연산 수열과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 다음수와 덧셈으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)
모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱
를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다.
—— not
.
is
—— not
right-associativity 때문에
일 때 다음과 같다
각
는 화살표 연산의 왼쪽 항으로 나타나고 (화살표 연산은 가환이 아니기 때문에 이 점은 중요하다),
는 함수
를 b번 합성한 것으로 썼다.
이기 때문에, 원래 정의를
인 모든 정수
에 대해 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다:
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\(a\uparrow ^{n-1})^{b}1&{\mbox{if }}n\geq 1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbadfb0fec7ead917014969494cfacd03f2604d)
값들의 표[편집]
2↑m n 계산[편집]
을 계산하는 것은 무한한 표에서 재기술 할 수 있다.
을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 2로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
= hyper(2, m + 2, n) = 2 → n → m의 값
m\n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
공식
|
1
|
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
|
2
|
2 |
4 |
16 |
65536 |
![{\displaystyle 2^{65\,536}\approx 2.0\times 10^{19\,728}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75cab8cc5465f404ddbf4ca30451f3285fe8e303) |
![{\displaystyle 2^{2^{65\,536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19\,727}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413fb5984493e2fb40b32e6e57e687070211337c) |
|
3
|
2 |
4 |
65536 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc48ed4649b192c00667f0e11e59c335c17a992d) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cb793beb7db9a9f965cd8166dce9ff85e145c3) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa9d2b667da65913d439016fb66f53e8e434a2) |
|
4
|
2 |
4 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc48ed4649b192c00667f0e11e59c335c17a992d) |
|
|
|
|
이 표는
과
이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 아커만 함수의 표와 같다.
3↑m n 계산[편집]
을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 3으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
= hyper(3, m + 2, n) = 3 → n → m의 값
m\n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
공식
|
1
|
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
|
2
|
3 |
27 |
7,625,597,484,987 |
![{\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc90ee2e197098ebb6079c3eab790194b39b6e4) |
![{\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0436819e7b237d28b92b512afa6e7c86bb6739) |
|
3
|
3 |
7,625,597,484,987 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6168b8a2a62ddf735585eb0da39bc04bd629461b) |
|
|
|
4
|
3 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6168b8a2a62ddf735585eb0da39bc04bd629461b) |
|
|
|
|
4↑m n의 계산[편집]
을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 4로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
= hyper(4, m + 2, n) = 4 → n → m의 값
m\n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
공식
|
1
|
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
|
2
|
4 |
256 |
![{\displaystyle 1.3407807930\times 10^{154}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b27e8e271a14cc12e749209f0a2cd5885c9d77) |
![{\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecdede6e9ca6bccfc2e5b5935765205f162d306) |
![{\displaystyle 4^{4^{1.3407807930\times 10^{154}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee15bc32954ef4d88b3021915cd567261fb008f) |
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3
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4 |
![{\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecdede6e9ca6bccfc2e5b5935765205f162d306) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f82ae9779407351967e87b0b9b357c74af784) |
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4
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4 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792840e93f1cd0abf9d424e50ba1ac75aa6f9e52) |
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10↑m n의 계산[편집]
을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 10으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
= hyper(10, m + 2, n) = 10 → n → m의 값
m\n
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1
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2
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3
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4
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5
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공식
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1
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10 |
100 |
1,000 |
10,000 |
100,000 |
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2
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10 |
10,000,000,000 |
![{\displaystyle 10^{10,000,000,000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67ec008015d2f00095e50673d22086c221e9bfc) |
![{\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29b4d5c284015544180c03d596a7ffb477e5ebe) |
![{\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968cb43fe875add704cd66028fbea5136d5722cd) |
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3
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10 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166c2af4a40bbcdd586c38ef32031a29a59df2d7) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34292e3da219e18124011d17a6370e4f1a829692) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e97c0b334ea2a5824a507f9b39934c1576e3ad3) |
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4
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10 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36265518be6979b002cd6537e53b33d858071689) |
![{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08887e1f3b7552467da443419925c766c5f1122e) |
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2 ≤ n ≤ 9일 때
의 수치적인 순서는 m이 가장 우선적인 사전식 순서여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ n ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, m = 1에서 시작하면 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.
하이퍼 연산 수열에 기반한 기수법[편집]
루벤 루이스 굿스타인은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고
으로 표기한 하이퍼 연산 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다.[1] 대괄호 ([1], [2], [3], [4], ... )를 각각의 하이퍼 연산
을 나타낸다고 하면 소위 b를 밑으로 하는 정수 n의 k단계 완전 hereditary 표현은 처음 k 하이퍼 연산과 0, 1, ..., b − 1의 자릿수와 밑인 b 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:
- 0 ≤ n ≤ b-1일 때는, n은 단순히 대응하는 숫자로 표현한다.
- n > b-1일 때는, n의 표현은 재귀적으로 찾는다. 먼저 n은 다음의 형태로 나타난다:
- b [k] xk [k - 1] xk-1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1
- 이 때 xk, ..., x1는 다음을 (차례로)만족하는 가장 큰 정수이다.
- b [k] xk ≤ n
- b [k] xk [k - 1] xk - 1 ≤ n
- ...
- b [k] xk [k - 1] xk - 1 [k - 2] ... [2] x2 [1] x1 ≤ n
- b-1을 넘는 xi는 같은 방법으로 다시 표현하고 0, 1, ..., b-1과 밑인 b만 남을 때까지 계속한다.
이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.
계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,
1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, X도 이 형태이다.
2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, X,Y도 이 형태이다.
3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, X,Y,Z도 이 형태이다.
4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, X,Y,Z,W도 이 형태이다.
그리고 계속된다.
밑이 b인 hereditary 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., b-1}의 "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 b로 표시했을 때 일반적인 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.
예:
266의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:
- 1단계: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (2가 133개)
- 2단계: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
- 3단계: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
- 4단계: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
- 5단계: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2
그레이엄 수 표기[편집]
커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G64(4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.
(여기서 윗화살표의 개수는 G63(4)개이다.)
같이 보기[편집]
- ↑ Goodstein, R. L. (1947). “Transfinite ordinals in recursive number theory”. 《Journal of Symbolic Logic》 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486.
외부 링크[편집]