큰 수

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대수 (大數)는 일상생활에 사용되는 수보다 거대한 이다. 매우 거대한 수는 수학, 천문학, 우주론, 암호학, 인터넷이나 컴퓨터 등의 분야에서 자주 등장한다. 천문학적 숫자 (天文學的數字)로 불리기도 한다. 거대한 수나 미소한 수를 처리하기 위해서 특수한 수학 기호가 사용되고 있다.

대수의 사용예[편집]

대수는 예를 들어 이하와 같은 사용예가 있다.

'천문학적'인 대수[편집]

대수는 천문학의 분야에도 등장한다.

MD5의 해시 키의 길이는 128비트이며, 2128 (약 3.402×1038) 그대로의 해시값을 받는다. 이것은 매우 양호한 해쉬 함수이며, 어느 문서가 특정의 해시값을 받는 확률은 2-128이다. 이는 실질적으로는 제로와 동일한 값이다 (다만 생일 문제에 주의).

그렇지만 이 수는 지구 상에 존재하는 원자의 총수와 비교하면 아직도 작은 수이며, 관측 가능한 우주에 존재하는 원자의 총수보다 훨씬 더 작은 수라고 할 수 있다.

조합론적 수[편집]

조합론에서 편성의 경우의 수 등은 급격하게 커지는 수로, 팽창 폭발이라는 말도 있다. 예를 들어, 일의인 요소의 집합에 대한 순열의 수인 계승함수는 매우 급속히 발산하는 함수이다. 그것을 확장한 것으로서 초실수도 생각되고 있다.

편성 함수는 통계역학에서 다루어지는 대수를 생성하기 위해서 사용되는 일이 있다. 통계역학의 분야에서 사용되는 수는 일반적으로 로그를 이용해 나타내진다.

일상의 용어로서 사용되는 '천문학적 (수)'에 비해 (별로 일반적이지 않지만) '조합론적 (수)'이라는 말이 있다.

계산 불가능한 수속에 의한 대수의 구성[편집]

기호 Σ는 모든 계산 가능 함수보다 빠르게 증대하는 함수의 일례이다. 비지 비버 함수 자신은 계산 불가능하다. 인수가 비교적 작은 값이어도 거대한 값을 돌려준다. n = 1, 2, 3, 4에 대해서, Σ(n)의 값은 각각 1, 4, 6, 13이다. Σ(5)는 미지이지만, 4098 이상의 값을 받는다. Σ(6)는 적어도 1.29×10865이다.

무한수[편집]

상술의 수는 모두 매우 거대한 수이지만, 그런데도 유한이다. 수학의 일부의 분야에서는 무한대초한수 등의 정의를 하고 있는 수가 있다.

  • 알레프 0 ()는 정수집합의 크기이다.
  • 알레프 1 ()는 알레프 0의 다음에 큰 농도이다.
  • 알레프() 혹은 실수의 농도이다. 명제 연속체 가설로서 알려져 있다.
  • 큰 기수ZFC에서는 그 존재를 증명할 수 없는 듯한 큰 기수이다. 예를 들면, (약·강) 도달 불가능 기수, 마로 기수, (약·강) 콤팩트 기수, 가측기수등이 있다.

대수의 표기법[편집]

대수의 크기는 일반적으로 지수를 이용해 나타내지며 많은 현실적인 목적에서는 그것으로 충분하다. 그러나, 모자수나 그라함수 등은 '10의 10승의 10승의 … '를 우주의 끝까지 계속해도 따라붙지 않을 만큼의 터무니없고 거대한 수이며, 지수로는 다 표현할 수 없다. 그러한 매우 거대한 수를 표현하기 위해서, 많은 수학자가 독특한 표기법을 생각해 냈다.

  • 커누스 윗화살표 표기법 (타워 표기)은 지수의 쌓아 중복인 지수를 기술하기 위한 매우 단순한 표기법이다.
  • 하이퍼 연산가법의 반복으로 곱셈, 곱셈의 반복으로 거듭제곱을 만드는 것을 발전해, 새로운 연산을 만들어 가는 것이며, 본질적으로는 타워 표기의 다른 표기이다.
  • 콘웨이 화살표 사슬 표기법은 타워 표기의 '화살표의 증가' 그 자체가 반복해, ' '화살표의 증가'에 반복을 넣는 것'의 반복 등을 표현할 수 있도록 해, 게다가 거대한 수를 나타낼 수 있도록 한 것이다.
  • 스테인하우스-모서 다각형 표기법은 대수를 나타내기 위해서 다각형을 사용하고 있다.
  • 초계승계승을 확장한 것이다.
  • 아커만 함수는 주는 수가 커지면 급격하게 증대하는 함수이다.
  • 회전 화살표 표기는 타워 표기나 체인 표기의 확장판으로 화살표의 회전을 반복하는 것으로 종래의 타워 표기나 체인 표기보다 훨씬 더 거대한 수를 표기할 수 있도록 한 것이다.
  • BEAF는 배열 표기나 그 확장에 의해 타워 표기나 체인 표기나 회전 화살표 표기보다 훨씬 더 거대한 수를 표기할 수 있도록 한 기법이다.

관련 항목[편집]

각주[편집]

외부 링크[편집]