정규부분군

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군론에서, 정규부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의[편집]

부분군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 정규부분군이라고 한다.

  • . 즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
  • . 즉, 좌잉여류우잉여류가 일치한다.
  • 군 준동형 가 존재한다.
  • 정규화 부분군 전체이다. 즉, 이다.

의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

성질[편집]

부분군 이 정규부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

  • 아벨 군이다.
  • 중심이다.
  • 자명군이다.
  • 이다.

의 정규부분군 가 주어졌다면, 몫군 에서 외부자기동형군 로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

여기서 준동형 이며, 이다.

특히, 이 아벨 정규부분군일 경우, 자명군이며 이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

[편집]

유클리드 군 은 평행 이동의 군 을 정규부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 은 부분군이지만 정규부분군이 아니다.

역사[편집]

정규부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]