정규부분군

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군론에서, 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의[편집]

G부분군 N\le G에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 G정규 부분군이라고 한다.

NG의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

N\vartriangleleft G

성질[편집]

G부분군 N\le G이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

G의 정규 부분군 N\vartriangleleft G가 주어졌다면, 몫군 G/N에서 N외부자기동형군 \operatorname{Out}N로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

G/N\to\operatorname{Out}N=\operatorname{Aut}N/\operatorname{Inn}N

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

\begin{matrix}
&&1&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname Z(N)&\hookrightarrow&\operatorname C_G(N)&\twoheadrightarrow&\operatorname C_G(N)/\operatorname Z(N)&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&N&\hookrightarrow&G&\twoheadrightarrow& G/N&\to&1\\
&&\downarrow &&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Inn}N&\hookrightarrow&\operatorname{Aut}N&\twoheadrightarrow&\operatorname{Out}N&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1&&1
\end{matrix}

여기서 준동형 G\to\operatorname{Aut}Ng\mapsto(n\mapsto gng^{-1})이며, N\to\operatorname{Inn}Nn\mapsto(m\mapsto nmn^{-1})이다.

특히, N이 아벨 정규 부분군일 경우, \operatorname{Inn}N자명군이며 \operatorname{Out}N\cong\operatorname{Inn}N이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

G/N\to\operatorname{Aut}N
gN\mapsto(n\mapsto gng^{-1})

[편집]

유클리드 군 \operatorname{IO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{O}(n)은 평행 이동의 군 \mathbb R^n을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 \operatorname O(n)은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

역사[편집]

정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]