0부터 1까지의 이진유리수 수학 에서 이진 유리수 (二進有理數, dyadic rational ) 또는 이진 분수 (二進分數, dyadic fraction )는 이진법 전개 가 유한한 유리수 이다. 즉, 분자 가 정수 , 분모 가 2의 거듭제곱 인 분수 로 나타낼 수 있는 유리수이다. 예를 들어, 1/2, 3/8은 이진 유리수이며, 1/3은 이진 유리수가 아니다.
이진 유리수 는 다음과 같은 꼴의 수이다.
a
2
b
(
a
,
b
∈
Z
,
b
≥
0
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\qquad (a,b\in \mathbb {Z} ,\;b\geq 0)}
연산에 대한 닫힘 [ 편집 ] 두 이진 유리수의 합 ·차 ·곱 역시 이진 유리수이다.
a
2
b
+
c
2
d
=
2
d
−
b
a
+
c
2
d
(
b
≤
d
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a+c}{2^{d}}}\qquad (b\leq d)}
a
2
b
−
c
2
d
=
2
d
−
b
a
−
c
2
d
(
b
≤
d
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\qquad (b\leq d)}
a
2
b
−
c
2
d
=
a
−
2
b
−
d
c
2
b
(
b
>
d
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\qquad (b>d)}
a
2
b
×
c
2
d
=
a
c
2
b
+
d
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {ac}{2^{b+d}}}}
그러나, 두 이진 유리수의 몫 은 이진 유리수가 아닐 수 있다.
a
2
b
÷
c
2
d
=
2
d
−
b
a
c
(
b
≤
d
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\div {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a}{c}}\qquad (b\leq d)}
a
2
b
÷
c
2
d
=
a
2
b
−
d
c
(
b
>
d
)
{\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\div {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a}{2^{b-d}c}}\qquad (b>d)}
대수적 성질 [ 편집 ] 이진 유리수의 집합은 유리수환 의 부분환 을 이루며, 이 부분환은 정수환의 2의 거듭제곱의 곱셈 모노이드에 대한 국소화
{
2
n
:
n
∈
N
}
−
1
Z
{\displaystyle \{2^{n}\colon n\in \mathbb {N} \}^{-1}\mathbb {Z} }
몫군 은 프뤼퍼 2-군 과 동형 이다.
순서론적 성질 [ 편집 ] 임의의 가산 전순서 집합 은 항상
{
a
/
2
b
∈
[
0
,
1
]
:
a
,
b
∈
Z
,
b
≥
0
}
{\displaystyle \{a/2^{b}\in [0,1]\colon a,b\in \mathbb {Z} ,\;b\geq 0\}}
부분 집합 과 동형 이다.
위상수학적 성질 [ 편집 ] 이진 유리수들은 실수선 의 조밀 집합 을 이룬다. 구체적으로, 임의의 실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
(
⌊
2
n
x
⌋
/
2
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (\lfloor 2^{n}x\rfloor /2^{n})_{n=0}^{\infty }}
초현실수 는 유한 이진 분수를 만든 후 무한대, 무한소 그리고 다른 수들을 만들어 내는 구성 규칙을 반복하여 만들어진다.
이진 반 데르 코르푸트 수열 은 양의 이진 유리수의 균등 분배 적인 순열 이다.
이진 유리수는 우리손의 보조정리 를 비롯한 명제들의 증명에서 응용된다.
인치 의 소수부분은 습관상 이진분수로 표시한다. 고대 이집트인들도 측량에 분모가 64 이하인 이진분수를 사용하였다.[1]
박자표 는 관례적으로 이진분수로 이루어진 서양 기보법 이다. 20세기쯤 비이진법적 박자표가 작곡가들에 의해 도입되었지만 말이다.
같이 보기 [ 편집 ] 반정수 는 홀수를 2로 나눠 얻어지는 수이며, 이진 유리수의 특수한 경우이다.2진수 는 이진 유리수를 확장한 수 체계이다.
![{\displaystyle \{a/2^{b}\in [0,1]\colon a,b\in \mathbb {Z} ,\;b\geq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde800f51ba91a4560658c5963ac338b7d74222)
