유계 작용소

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함수해석학에서, 유계 작용소(有界作用素, 영어: bounded operator)는 유계 집합을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환이다. 두 노름 공간 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 연속 선형 변환의 개념과 일치한다.

정의[편집]

위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, -선형 변환 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 선형 변환 유계 작용소라고 한다.[1]:24, §1.31

  • 임의의 유계 집합의 은 유계 집합이다.

즉, 이는 유계형 집합의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 의 부분 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.

  • 임의의 0의 근방 에 대하여, 가 존재한다.

사이의 유계 작용소들의 집합은 라고 한다. 이는 자연스럽게 -벡터 공간을 이룬다.

균등 공간 구조[편집]

위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 이 주어졌을 때,

  • 위에는 모든 유계 집합들로 구성된 덮개 가 존재한다.
  • 위에는 (덧셈 위상군으로서의) 균등 공간 구조가 존재한다.

이에 따라, 함수 집합 위에 균등 수렴 위상 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 -위상 벡터 공간을 이룬다.

만약 이며 노름 공간일 경우, 이 위상은 작용소 노름으로 정의된 거리 위상과 같다.

작용소 위상[편집]

유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 약한 위상) 대신, 다음과 같은 더 엉성한 위상강한·약한 작용소 위상을 부여할 수도 있다.

함수 집합 곱위상을 부여하면, 이므로 부분 공간 위상을 부여할 수 있다. 이를 강한 작용소 위상(強한作用素位相, 영어: strong operator topology)이라고 한다.

마찬가지로, 약한 위상을 부여한 것을 로 놓고, 함수 집합 에 곱위상을 부여하면, 부분 공간 위상 약한 작용소 위상(弱한作用素位相, 영어: weak operator topology)이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

성질[편집]

연속성과의 관계[편집]

위상체 위의 두 위상 벡터 공간 , 사이의 모든 연속 -선형 변환은 유계 작용소이다.[1]:24, Theorem 1.32[2]:III.4, Proposition III.1.4

증명:

연속 -선형 변환 가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 및 임의의 의 근방 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 근방이며, 유계 집합이므로 가 되는 스칼라 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이다.

따라서 는 유계 집합이다.

만약 이며, -노름 공간일 경우, 유계 작용소 · 연속 선형 변환 · 균등 연속 선형 변환 · 립시츠 연속 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.[1]:24, Theorem 1.32 (그러나 이는 일반적인 위상 벡터 공간에 대하여 성립하지 않는다.[3]:253, Example 8.8.8)

작용소 노름[편집]

만약 이며, -노름 공간일 경우, 작용소 노름을 통해 노름 공간을 이룬다.[1]:92–93, Theorem 4.1 만약 바나흐 공간이라면, 역시 바나흐 공간을 이룬다.[1]:92–93, Theorem 4.1

유계 작용소 공간 위의 위상의 관계[편집]

자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.

균등 수렴 위상 강한 작용소 위상
균등 수렴 위상의 약한 위상 약한 작용소 위상

여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 섬세한 위상이라는 뜻이다.

실수체 또는 복소수체 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.

균등 수렴 위상 강한 작용소 위상
균등 수렴 위상의 약한 위상 약한 작용소 위상

증명:

두 노름 공간 사이의 작용소열 가 주어졌다고 하자. 만약 로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.

즉, 임의의 에 대하여,

를 정의하면, 인 것을, 즉 (작용소 노름 위상에 대하여) 유계 작용소인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는

이므로

이다.

[편집]

두 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 변환은 유계 작용소이다.

르베그 실수열 공간 위의 연산자

는 노름이 1인 유계 작용소이다.

라플라스 연산자

는 유계 작용소이다. 여기서 하디 공간이며, Lp 공간의 하나이다.

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 
  2. Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson. 
  3. Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2010). 《Topological vector spaces》. Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-158488866-6. 
  • Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 
  • Takesaki, M. 《Theory of Operator Algebras I》 (영어). ISBN 3-540-42248-X. 

외부 링크[편집]