유계 변동 함수

실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의

1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb {R}$의 분할은 다음과 같은 수열이다.

$P=(p_{0},p_{1},p_{2},\dots ,p_{|P|})\qquad (a=p_{0}\leq p_{1}\leq p_{2}\leq \dotsb \leq p_{|P|}=b)$

닫힌구간 $[a,b]$의 모든 분할들의 집합을 $\operatorname {Part} ([a,b])$라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.

$\operatorname {Part} ([a,b])=\bigsqcup _{N=1}^{\infty }\operatorname {Part} _{N}([a,b])\cong \bigsqcup _{N=1}^{\infty }\triangle ^{N-1}$

여기서 $\operatorname {Part} _{N}([a,b])$은 크기 $N$의 분할들의 공간이며, 이는 $N-1$차원 단체 $\triangle ^{N-1}$와 동형이다.

임의의 함수

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

및 분할 $P\in \operatorname {Part} ([a,b])$ 에 대하여, 변동

$\sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty )$

을 정의할 수 있다. $f$의 전변동(全變動, 영어: total variation) $\|f\|_{\operatorname {BV} }$는 모든 변동들의 상한이다.^:530

$\operatorname {V} (f)=\sup _{P\in \operatorname {Part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty ]$

임의의 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.

• $\operatorname {V} (f)<\infty$
• $f=g-h$인 두 증가 함수 $g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, $a\leq s\leq t\leq b\implies g(s)\leq g(t),\;h(s)\leq h(t)$가 존재한다.
• 연속 함수의 공간 ${\mathcal {C}}^{0}([a,b])$ 위에 유계 작용소 ${\mathcal {C}}^{0}([a,b])\to \mathbb {R}$, $g\mapsto \textstyle \int g\,\mathrm {d} f$를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.^:530

유계 변동 함수들의 공간을 $\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )$로 표기하자. 그렇다면, $(\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} ),\|-\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (-))$는 노름 공간을 이룬다.

다차원 유계 변동 함수

유계 열린집합 $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 $f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )$의 전변동을 다음과 같이 정의하자.

$\operatorname {V} (f)=\sup _{\mathbf {g} \in X}\int _{\Omega }f(x)\nabla \cdot \mathbf {g} (x)\,\mathrm {d} x$

여기서

$X=\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\operatorname {L} ^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}))}(0,1))\cap {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 $\mathbf {g} \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$로 구성된 공간이다.

• 연속 미분 가능 함수이다 (${\mathcal {C}}^{1}$).
• 어떤 콤팩트 집합 $K\subseteq \Omega$에 대하여, $\forall x\in \Omega \setminus K\colon \mathbf {g} (x)=\mathbf {0}$이다.
• 노름이 1 이하이다. 즉, $\forall x\in \Omega \colon \|\mathbf {g} (x)\|\leq 1$이다. 여기서 $\operatorname {vol} (-)$은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, $\mathbf {g}$의 $\operatorname {L} ^{\infty }$-노름이 1 이하이다.)

그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 $\operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$라고 하자.

$\operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )=\{f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\colon \|f\|_{\operatorname {BV} }<\infty \}$

그렇다면, 그 위에

$\|f\|_{\operatorname {BV} }=\|f\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (f)$

를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 열린집합 $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, 만약 $f,g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$라면, 다음이 성립한다.

$f+g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$

$fg\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$

$(|f|+a)^{-1}\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )\qquad \forall a>0$

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$

그러나

${\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\not \subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )$

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

전변동

만약 $f\in {\mathcal {C}}^{2}([a,b])$일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

$\operatorname {V} f=\int _{a}^{b}\,|f'(x)|\,\mathrm {d} x$

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\Omega$에 대하여

• $\operatorname {cl} (\Omega )$가 콤팩트 집합이며,
• $\partial \Omega$가 어떤 매끄러운 다양체의 ${\mathcal {C}}^{1}$ 매장이라면,

$f\colon \operatorname {cl} (\Omega )\to \mathbb {R}$의 경우 $f\upharpoonright \Omega$는 유계 변동 함수이며,

$\operatorname {V} (f\upharpoonright \Omega )=\int _{\Omega }|\nabla f|$

이다.

특이점

유계 변동 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$는 두 증가 함수의 차이므로, $[a,b]$의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

분해 불가능성

$\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )$는 분해 가능 공간이 아니다.

증명:

임의의 $\alpha \in (a,b)$에 대하여, 지시 함수

$1_{[\alpha ,b]}\in \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )$

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.

$\|1_{[\alpha ,b]}-1_{[\beta ,b]}\|_{\operatorname {BV} }=2+|\alpha -\beta |\qquad \forall \alpha ,\beta \in [a,b],\;\alpha \neq \beta$

이제, 임의의 $\alpha \in (a,b)$에 대하여 열린 공들의 족

$\operatorname {ball} (1_{[\alpha ,b]},1)$

을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 $\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )$는 분해 가능 공간이 아니다.

예

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $(0,1]$에서 연속 함수지만, $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

$f(x)={\begin{cases}0&x=0\\\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}$ $\operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $[0,1]$에서 연속 함수지만 $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

$f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}$ $\operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|\sin x^{-1}-x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.

$f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x^{2}\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}$ $\operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}(2x+1)\,\mathrm {d} x=2$

외부 링크

• “Function of bounded variation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bounded variation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.