일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.
기수
가 주어졌다고 하자. 위상 공간
및 부분 집합
및 점
가 다음 조건을 만족시킨다면,
가
의
-집적점(集積點, 영어:
-accumulation point)이라고 한다.
- 임의의
의 근방
에 대하여,
이다.
특히, 임의의 점
및 부분 집합
에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N}}_{x}}|Y\cap U|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ecb08d4658a43b7bae6789092e52f40254ec39)
여기서
는
의 근방 필터이다. 즉,
는 항상
의
-집적점이다.
의
-집적점들의 집합을
![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97a53c9e5818403567beee62f6389fe87d5c8a7)
로 표기하자.
특별한 값의
에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.
의
-집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다.
-집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서
은 최소의 비가산 기수이다.)
- 2-집적점을 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. (즉,
의 극한점은 임의의 근방
에 대하여,
인 점
이다.) 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히
으로 표기한다.
의 극한점이 아닌 점
은 고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. (즉,
의 고립점은
가 열린집합인 점
이다.) 위상 공간
의 부분 집합
에 대하여, 집합
은
를 부분 공간으로 하는 위상 공간
의 선택과 무관하며, 특히 이는
의 고립점의 집합이다.
- 1-집적점을 폐포점(閉包點, 영어: closure point) 또는 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다.
의 폐포점은
의 원소이거나 아니면
의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포
라고 한다.
- 임의의
는
의 0-집적점이다.
폐포와의 관계[편집]
위상 공간
의 부분 집합
과 점
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는
의 폐포점이다.
이거나, 또는
는
의 극한점이다.
다시 말해,
의 폐포는
와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.
![{\displaystyle X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83831385ae253989741c3c7c0cbe432001e0b75)
![{\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y\cup Y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5f57721f107ea16858ae2ab71a7c61f56999d0)
위상 공간
의 부분 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 닫힌집합이다.
![{\displaystyle Y'\subseteq Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52515a4dbdc3d3d83687b7aefb1ddf27aa62814)
![{\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33f56ef2154cedeaf1446813fe4ad4b4064ce59)
T1 공간의 경우[편집]
만약
가 T1 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는
의 극한점이다.
는
의
-집적점이다.
따라서, T1 공간의 경우
에 대하여
-집적점을 구별하지 않아도 된다.
T1 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.
다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 이산 공간이다.
의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.
유도 집합[편집]
다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e3970d8ad5ddcfcab6fd62237a257599f66eb6)
- 임의의 집합
및 기수
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0527d71343d8077709619c2527519e3ffc5ca270)
- 임의의 집합
및 기수
에 대하여, ![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabe62652e79292c264d0f4d03472518af1ab03d)
실수선의 부분 집합
![{\displaystyle S=\{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5361fe32c44b5c25fdd5aaab722ecb0ea33536a)
을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(S)={\begin{cases}\mathbb {R} &\kappa =0\\S\cup \{0\}&\kappa =1\\\{0\}&2\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b179c0c47f19680515b4e217657d2b2665265f)
실수선 속의, 무리수의 부분 집합
을 생각하자.
![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b55684437f0329e4c90129642c52b6ce499741)
실수선 속의, 유리수의 부분 집합
을 생각하자.
![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89494dfc808c33372fb5114f6b3aadbd75fdc3a)
실수선을 스스로의 부분 집합
으로 여기자.
![{\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840836afe2d3128749a0b7904f974ca4f88768ee)
즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.
실수선
의 부분 공간
의 고립점은 0밖에 없다.
실수선의 부분 공간
에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.
이산 공간[편집]
위상 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 이산 공간이다.
의 모든 점은 고립점이다.
유도 집합(독일어: abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.[1]:129, §2
외부 링크[편집]