소수 계량 함수

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소수 계량 함수(素數計量函數, 영어: prime-counting function)는 주어진 양의 실수 x에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 그리스 소문자 π(x)로 표기하지만, 원주율과는 관계가 없다.

최초 60이하의 자연수에 대한 \pi(n)의 값을 그린 그래프

역사[편집]

정수론에서 소수 개수의 증가 속도는 매우 중요한 관심 대상이다. 18세기 말 카를 프리드리히 가우스아드리앵마리 르장드르는 소수 계량 함수가 x/\ln (x)에 근접함을 추측했다. 즉,

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)} = 1

라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\text{li} (x)} = 1

여기서 li는 로그 적분 함수를 의미한다. 1859년 베른하르트 리만이 도입한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르샤를장 드 라 발레푸생이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

명시적 공식[편집]

소수 계량 함수는 다음과 같은 폰 망골트 명시적 공식(영어: von Mangoldt explicit formula)을 따른다. 이는 다른 L-함수들의 명시적 공식의 시초로 볼 수 있으며, 다음과 같다.

\psi(x) = x - \sum_{\rho\in S} \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})

여기서

S=\{\rho\in\mathbb C\colon \zeta(\rho)=0,\;0<\operatorname{Re}\rho<1\}
  • \sum_{\rho\in S}절대수렴하지 않는다. 이 경우 합은 |\operatorname{Im}\rho|의 순으로 계산하여 수렴하게 만든다.
  • 위 공식은 x가 정수가 아닌 1 이상의 실수인 경우, 즉 x\in(1,\infty)\setminus\mathbb Z에 대하여 유효하다. 만약 x가 2 이상의 정수인 경우, 좌변을 (\psi(x-1)+\psi(x))/2로 치환해야 한다.

π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과[편집]

다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1 229 143 17 8.137
105 9 592 906 38 10.425
106 78 498 6 116 130 12.740
107 664 579 44 158 339 15.047
108 5 761 455 332 774 754 17.357
109 50 847 534 2 592 592 1 701 19.667
1010 455 052 511 20 758 029 3 104 21.975
1011 4 118 054 813 169 923 159 11 588 24.283
1012 37 607 912 018 1 416 705 193 38 263 26.590
1013 346 065 536 839 11 992 858 452 108 971 28.896
1014 3 204 941 750 802 102 838 308 636 314 890 31.202
1015 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1 052 619 33.507
1016 279 238 341 033 925 7 804 289 844 393 3 214 632 35.812
1017 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281 7 956 589 38.116
1018 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 21 949 555 40.420
1019 234 057 667 276 344 607 5 481 624 169 369 960 99 877 775 42.725
1020 2 220 819 602 560 918 840 49 347 193 044 659 701 222 744 644 45.028
1021 21 127 269 486 018 731 928 446 579 871 578 168 707 597 394 254 47.332
1022 201 467 286 689 315 906 290 4 060 704 006 019 620 994 1 932 355 208 49.636
1023 1 925 320 391 606 803 968 923 37 083 513 766 578 631 309 7 250 186 216 51.939

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]