소수계량함수

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소수계량함수(素數計量函數, 영어: prime-counting function)는 주어진 양의 실수 x에 대해 그 값보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 함수이다. 보통 \pi(x)로 표기한다. 이는 원주율을 의미하는 그리스 문자 \pi와 아무런 관련이 없다.

최초 60이하의 자연수에 대한 \pi(n)의 값을 그린 그래프

역사[편집]

정수론(number theory)에서 소수 개수의 증가속도는 매우 지대한 관심사였다. 18세기 말 가우스르장드르는 소수계량함수가 x/\ln (x)에 근접함을 추측했다. 즉,

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)} = 1

라고 생각했고, 이는 소수 정리에 해당한다. 이와 동치로서 다음 극한이 있다.

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\text{li} (x)} = 1

여기서 li는 로그적분함수(logarithmic integral function)를 의미한다. 1859년 리만이 소개한 리만 제타 함수의 성질을 이용하여 1896년에 자크 아다마르샤를르-장 드 라 발레-푸생이 각각 독립적으로 소수 정리를 증명하였다.

π(x), x / ln x, 및 li(x)의 수치적 계산 결과[편집]

다음 표는 세 함수를 직접 계산한 결과를 보여준다.

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0.3 2.2 2.500
102 25 3.3 5.1 4.000
103 168 23 10 5.952
104 1,229 143 17 8.137
105 9,592 906 38 10.425
106 78,498 6,116 130 12.740
107 664,579 44,158 339 15.047
108 5,761,455 332,774 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 7,250,186,216 51.939

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주석[편집]