주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여

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주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉(독일어: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe)는 베른하르트 리만1859년 11월에 베를린 학술원에 발표한 8페이지짜리의 독창적인 논문이다.[1] 비록 이것은 리만이 발표한 수론에 관한 유일한 논문이지만, 19세기말부터 현재에 이르기까지 수많은 연구자들에 영향을 미치고 있는 개념들을 포함하고 있다. 또 이 논문은 증명들을 위한 밑그림들과 발견을 돕는 논증들과 정의들, 그리고 강력한 해석학적 방법론의 응용으로 이루어져 있다. 수학적 증명의 난제로 알려진 리만 가설도 이 논문에 나온다.

이 모든 것들은 근대 해석적 수론(analytic number theory)의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.

논문 중의 새로운 정의들은 소개하면 아래와 같다:

다음 증명들을 제시했다.

  • \zeta(s)의 함수방정식(Functional equation)의 두 가지 증명법
  • \xi(s)의 무한 곱 형태 표현의 증명
  • 허수부가 영과 T 사이에 있을 때 \zeta(s)의 근의 개수의 근사법의 증명

다음 추측을 제시했다.

수론에서 다음 새로운 기법을 도입했다.

주석[편집]

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