로그 적분 함수

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로그 적분 함수의 그래프

로그 적분 함수(log積分函數, 영어: logarithmic integral function)는 특수 함수의 일종이다. 보통 정적분으로 정의되고 의 부정적분으로 쓸 수도 있다.

정의[편집]

로그 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.(미국식 정의)

혹은 다음과 같은 유럽식 정의를 쓰기도 한다.[1]

여기서 자연로그를 의미한다.

급수[편집]

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.[2]

이 식은 x > 0에서 성립한다. 이 식은 지수 적분 함수급수

이므로

로 표현할 수 있다.

라마누잔이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는

이 있다.

여기서 ≈ 0.57721 56649 01532 ... 는 오일러-마스케로니 상수이다.

점근적 표기[편집]

x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.[2]

여기서 점근 표기법을 의미한다.

소수와의 관계[편집]

로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데 왜냐하면 어떤 수 이하의 소수의 개수를 어림하는데 쓰이기 때문이다. 즉, 소수 정리는 다음을 보장한다.

여기서의 소수 계량 함수이다. 실제로 계산해 보면 작은 범위 안에서는 보다 항상 약간 더 큰 것 처럼 보이지만 실제로는 스큐스 수에서 보다 더 커지고 이후에는 무한히 대소 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.[1]

지수 적분 함수와의 관계[편집]

로그 적분 함수는 다른 특수 함수인 지수 적분 함수와 밀접한 연관이 있다. 가장 간단한 예로는 라는 관계가 있다. 또한, 음함수 미분법을 이용하여 로그 적분 함수의 역함수를 미분해 보면 지수 적분 함수의 역함수가 나온다. 즉, 역함수를 함수 위에 -1을 위첨자로 쓴 형태로 표기한다면, 이라고 쓸 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. 오일러 상수 감마, 가-173쪽, 나-305쪽, ISBN 978-89-6139-018-7
  2. 영문 위키 참조

같이 보기[편집]