지수 적분 함수

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수학에서, 지수 적분 함수(指數積分函數, 영어: exponential integral function)은 특수 함수의 하나이며, e^{-t}/t의 부정적분이다.

정의[편집]

0아닌 실수 x에 대하여, 지수 적분 함수 \operatorname{Ei}(x)은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{Ei}(x)=-\mathcal P\int_{-x}^\infty \frac{\exp(-t)}t\,dt

여기서 \mathcal P코시 주요값이다.

복소 x에 대하여 이 함수를 해석적 연속으로 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 음의 실수에서 분지절단이 생긴다.

성질[편집]

지수 적분 함수 \operatorname{Ei}(z)는 통상적으로 음의 실수에서 분지절단을 갖고, 다른 곳에서는 정칙함수이다. 또한, 다음 함수는 전해석 함수이다.

\operatorname{Ei}(z)-\ln z

급수[편집]

지수 적분 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. 이는 0이 아닌 모든 실수에서 수렴한다.

\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \qquad x \in\mathbb R\setminus\{0\}

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]