수학 에서 삼각함수 항등식 (三角函數恒等式, 영어 : trigonometric identity )은 삼각함수 가 나오는 항등식 을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분 에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서
sin
2
{\displaystyle \sin ^{2}}
,
cos
2
{\displaystyle \cos ^{2}}
등의 함수는
sin
2
x
=
(
sin
x
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}}
와 같이 정의된다.
cos
x
=
sin
(
x
+
π
2
)
{\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)}
tan
x
=
sin
x
cos
x
cot
x
=
cos
x
sin
x
=
1
tan
x
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}}
sec
x
=
1
cos
x
csc
x
=
1
sin
x
{\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}}
다음 관계는 단위원 을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수 의 주기성을 나타낸다.
sin
x
=
sin
(
x
+
2
k
π
)
cos
x
=
cos
(
x
+
2
k
π
)
tan
x
=
tan
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )}
sec
x
=
sec
(
x
+
2
k
π
)
csc
x
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
cot
x
=
cot
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )}
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
−
s
i
n
θ
,
c
o
s
θ
{\displaystyle -sin\theta ,cos\theta }
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
,
sin
(
π
2
−
x
)
=
cos
x
,
sin
(
π
−
x
)
=
sin
x
cos
(
−
x
)
=
cos
x
,
cos
(
π
2
−
x
)
=
sin
x
,
cos
(
π
−
x
)
=
−
cos
x
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
,
tan
(
π
2
−
x
)
=
cot
x
,
tan
(
π
−
x
)
=
−
tan
x
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
,
cot
(
π
2
−
x
)
=
tan
x
,
cot
(
π
−
x
)
=
−
cot
x
sec
(
−
x
)
=
sec
x
,
sec
(
π
2
−
x
)
=
csc
x
,
sec
(
π
−
x
)
=
−
sec
x
csc
(
−
x
)
=
−
csc
x
,
csc
(
π
2
−
x
)
=
sec
x
,
csc
(
π
−
x
)
=
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}}
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
sin
(
x
+
π
2
)
=
cos
x
,
sin
(
x
+
π
)
=
−
sin
x
cos
(
x
+
π
2
)
=
−
sin
x
,
cos
(
x
+
π
)
=
−
cos
x
tan
(
x
+
π
2
)
=
−
cot
x
,
tan
(
x
+
π
)
=
tan
x
cot
(
x
+
π
2
)
=
−
tan
x
,
cot
(
x
+
π
)
=
cot
x
sec
(
x
+
π
2
)
=
−
csc
x
,
sec
(
x
+
π
)
=
−
sec
x
csc
(
x
+
π
2
)
=
sec
x
,
csc
(
x
+
π
)
=
−
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}}
또한, 주기 가 같지만, 상 (phase)이 다른 사인파들의 선형결합 은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
a
sin
x
+
b
cos
x
=
a
2
+
b
2
⋅
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
여기서
φ
=
{
arctan
b
a
,
if
a
≥
0
arctan
b
a
±
π
,
if
a
<
0
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}}
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
tan
2
x
+
1
=
sec
2
x
cot
2
x
+
1
=
csc
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}}
다음의 삼각함수의 덧셈정리 를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식 을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin {x}\cos {y}\pm \cos {x}\sin {y}\,}
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos {x}\cos {y}\mp \sin {x}\sin {y}\,}
(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)
tan
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan {x}\pm \tan {y}}{1\mp \tan {x}\tan {y}}}}
cot
(
x
±
y
)
=
cot
y
cot
x
∓
1
cot
y
±
cot
x
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot {y}\cot {x}\mp 1}{\cot {y}\pm \cot {x}}}}
c
ı
˙
s
(
x
+
y
)
=
c
ı
˙
s
x
c
ı
˙
s
y
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x+y)={\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}\,{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}
c
ı
˙
s
(
x
−
y
)
=
c
ı
˙
s
x
c
ı
˙
s
y
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x-y)={{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x} \over {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}}
여기서
c
ı
˙
s
x
=
exp
(
i
x
)
=
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}=\exp(ix)=e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,}
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.\,}
다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서
x
=
y
{\displaystyle x=y}
로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식 에서
n
=
2
{\displaystyle n=2}
로 놓아도 된다.
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}\,}
cos
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
2
sin
2
x
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos {2x}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}=2\cos ^{2}{x}-1=1-2\sin ^{2}{x}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}\,}
tan
2
x
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
{\displaystyle \tan {2x}={\frac {2\tan {x}}{1-\tan ^{2}{x}}}}
tan
2
x
−
1
tan
x
=
−
2
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}{x}-1}{\tan {x}}}={\frac {-2}{\tan {2x}}}}
cot
2
x
=
cot
2
x
−
1
2
cot
x
{\displaystyle \cot {2x}={\frac {\cot ^{2}{x}-1}{2\cot {x}}}}
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.
sin
3
x
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}\,}
cos
3
x
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}\,}
tan
3
x
=
3
tan
x
−
tan
3
x
1
−
3
tan
2
x
{\displaystyle \tan {3x}={\frac {3\tan {x}-\tan ^{3}{x}}{1-3\tan ^{2}{x}}}}
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
sin
4
x
=
4
sin
x
cos
x
−
8
sin
3
x
cos
x
{\displaystyle \sin {4x}=4\sin {x}\cos {x}-8\sin ^{3}{x}\cos {x}}
cos
4
x
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
{\displaystyle \cos {4x}=8\cos ^{4}{x}-8\cos ^{2}{x}+1}
tan
4
x
=
4
tan
x
−
4
tan
3
x
1
−
6
tan
2
x
+
tan
4
x
{\displaystyle \tan {4x}={\frac {4\tan {x}-4\tan ^{3}{x}}{1-6\tan ^{2}{x}+\tan ^{4}{x}}}}
sin
5
x
=
5
sin
x
−
20
sin
3
x
+
16
sin
5
x
{\displaystyle \sin {5x}=5\sin {x}-20\sin ^{3}{x}+16\sin ^{5}{x}}
cos
5
x
=
5
cos
x
−
20
cos
3
x
+
16
cos
5
x
{\displaystyle \cos {5x}=5\cos {x}-20\cos ^{3}{x}+16\cos ^{5}{x}}
tan
5
x
=
tan
5
x
−
10
tan
3
x
+
5
tan
x
1
−
10
tan
2
x
+
5
tan
4
x
{\displaystyle \tan {5x}={\frac {\tan ^{5}{x}-10\tan ^{3}{x}+5\tan {x}}{1-10\tan ^{2}{x}+5\tan ^{4}{x}}}}
sin
6
x
=
6
sin
x
cos
x
−
32
sin
3
x
cos
3
x
{\displaystyle \sin {6x}=6\sin {x}\cos {x}-32\sin ^{3}{x}\cos ^{3}{x}}
cos
6
x
=
32
cos
6
x
−
48
cos
4
x
+
18
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos {6x}=32\cos ^{6}{x}-48\cos ^{4}{x}+18\cos ^{2}{x}-1}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
이
n
{\displaystyle n}
번째 체비쇼프 다항식 일 때,
cos
n
x
=
T
n
(
cos
x
)
{\displaystyle \cos {nx}=T_{n}(\cos {x})}
드무아브르의 공식 :
cos
n
x
+
i
sin
n
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
{\displaystyle \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}}
디리클레 핵
D
n
(
x
)
{\displaystyle D_{n}(x)}
은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
1
+
2
cos
x
+
2
cos
2
x
+
2
cos
3
x
+
⋯
+
2
cos
n
x
=
sin
(
n
+
1
2
)
x
sin
x
2
{\displaystyle 1+2\cos {x}+2\cos {2x}+2\cos {3x}+\cdots +2\cos {nx}={\frac {\sin {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}}{\sin {x \over 2}}}}
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.
두배각 공식의 코사인 공식을
cos
2
x
{\displaystyle \cos ^{2}{x}}
과
sin
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}{x}}
으로 푼다.
cos
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
{\displaystyle \cos ^{2}{x}={1+\cos {2x} \over 2}}
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
{\displaystyle \sin ^{2}{x}={1-\cos {2x} \over 2}}
tan
2
x
=
1
−
cos
2
x
1
+
cos
2
x
{\displaystyle \tan ^{2}{x}={\frac {1-\cos {2x}}{1+\cos {2x}}}}
cot
2
x
=
1
+
cos
2
x
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \cot ^{2}{x}={\frac {1+\cos {2x}}{1-\cos {2x}}}}
sin
3
x
=
3
sin
x
−
sin
3
x
4
{\displaystyle \sin ^{3}{x}={\frac {3\sin {x}-\sin {3x}}{4}}}
cos
3
x
=
3
cos
x
+
cos
3
x
4
{\displaystyle \cos ^{3}{x}={\frac {3\cos {x}+\cos {3x}}{4}}}
sin
4
x
=
3
−
4
cos
2
x
+
cos
4
x
8
{\displaystyle \sin ^{4}{x}={\frac {3-4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}}
cos
4
x
=
3
+
4
cos
2
x
+
cos
4
x
8
{\displaystyle \cos ^{4}{x}={\frac {3+4\cos {2x}+\cos {4x}}{8}}}
sin
5
x
=
10
sin
x
−
5
sin
3
x
+
sin
5
x
16
{\displaystyle \sin ^{5}{x}={\frac {10\sin {x}-5\sin {3x}+\sin {5x}}{16}}}
cos
5
x
=
10
cos
x
+
5
cos
3
x
+
cos
5
x
16
{\displaystyle \cos ^{5}{x}={\frac {10\cos {x}+5\cos {3x}+\cos {5x}}{16}}}
차수 줄이기 이차식 공식에서
x
{\displaystyle x}
에
x
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {x}{2}}}
을 대입하고,
cos
x
2
{\displaystyle \textstyle \cos {\frac {x}{2}}}
과
sin
x
2
{\displaystyle \textstyle \sin {\frac {x}{2}}}
으로 푼다.
|
cos
x
2
|
=
1
+
cos
x
2
{\displaystyle \left|\cos {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos {x}}{2}}}}
|
sin
x
2
|
=
1
−
cos
x
2
{\displaystyle \left|\sin {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{2}}}}
|
tan
x
2
|
=
1
−
cos
x
1
+
cos
x
{\displaystyle \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos {x}}{1+\cos {x}}}}}
또한,
tan
x
2
{\displaystyle \textstyle \tan {\frac {x}{2}}}
는
sin
x
2
cos
x
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}
과 같고, 여기에 분자 분모에 같은
2
cos
x
2
{\displaystyle \textstyle 2\cos {\frac {x}{2}}}
을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해
sin
x
{\displaystyle \sin x}
이 되고, 분모는
2
cos
2
x
2
−
1
+
1
{\displaystyle \textstyle 2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-1+1}
이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면
cos
x
+
1
{\displaystyle \cos x+1}
이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시
sin
x
{\displaystyle \sin x}
를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.
tan
x
2
=
sin
x
cos
x
+
1
=
1
−
cos
x
sin
x
=
csc
x
−
cot
x
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}+1}}={\frac {1-\cos {x}}{\sin {x}}}=\csc {x}-\cot {x}}
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.
sin
x
cos
y
=
sin
(
x
+
y
)
+
sin
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \sin {x}\cos {y}={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}}
cos
x
sin
y
=
sin
(
x
+
y
)
−
sin
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos {x}\sin {y}={\sin(x+y)-\sin(x-y) \over 2}}
cos
x
cos
y
=
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \cos {x}\cos {y}={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}
sin
x
sin
y
=
−
cos
(
x
+
y
)
−
cos
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \sin {x}\sin {y}=-{\cos(x+y)-\cos(x-y) \over 2}}
위 식의
x
{\displaystyle x}
를
x
+
y
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {x+y}{2}}}
로,
y
{\displaystyle y}
를
x
−
y
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {x-y}{2}}}
로 바꾼다.
sin
x
±
sin
y
=
2
sin
(
x
±
y
2
)
cos
(
x
∓
y
2
)
{\displaystyle \sin {x}\pm \sin {y}=2\sin \left({\frac {x\pm y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x\mp y}{2}}\right)}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
(
x
+
y
2
)
cos
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \cos {x}+\cos {y}=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
(
x
+
y
2
)
sin
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle \cos {x}-\cos {y}=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}
tan
x
±
tan
y
=
sin
(
x
±
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \tan {x}\pm \tan {y}={\frac {\sin {(x\pm y)}}{\cos {x}\cos {y}}}}
그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.
sin
x
+
sin
y
sin
x
−
sin
y
=
tan
1
2
(
x
+
y
)
tan
1
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\sin {x}-\sin {y}}}={\frac {\tan {{1 \over 2}(x+y)}}{\tan {{1 \over 2}(x-y)}}}}
sin
x
+
sin
y
cos
x
−
cos
y
=
cot
1
2
(
y
−
x
)
{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}-\cos {y}}}=\cot {{1 \over 2}(y-x)}}
sin
x
+
sin
y
cos
x
+
cos
y
=
tan
1
2
(
x
+
y
)
{\displaystyle {\frac {\sin {x}+\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x+y)}}
sin
x
−
sin
y
cos
x
+
cos
y
=
tan
1
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle {\frac {\sin {x}-\sin {y}}{\cos {x}+\cos {y}}}=\tan {{1 \over 2}(x-y)}}
역삼각함수 라고도 한다.
x
>
0
{\displaystyle x>0}
이면
arctan
x
+
arccot
x
=
π
2
.
{\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}.}
만약
x
<
0
{\displaystyle x<0}
이면, 등식 우변이
−
π
2
{\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}}
가 된다.
arctan
x
+
arctan
y
=
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}}
리처드 파인만 은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (
x
=
20
∘
,
k
=
3
{\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3}
을 넣고,
sin
x
=
sin
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)}
를 이용 우변을 정리한다.)
∏
j
=
0
k
−
1
cos
(
2
j
x
)
=
sin
(
2
k
x
)
2
k
sin
x
{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}}
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
cos
36
∘
+
cos
108
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}}
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
cos
2
π
21
+
cos
2
(
2
π
)
21
+
cos
4
(
2
π
)
21
+
cos
5
(
2
π
)
21
+
cos
8
(
2
π
)
21
+
cos
10
(
2
π
)
21
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}}
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21 ⁄2 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식 (cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수 값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
미적분학 의 삼각함수에선 각을 라디안 (radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1}
과
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0}
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수 로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}})}
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin {x}=\cos {x}}
나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos {x}=-\sin {x}}
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan {x}=\sec ^{2}{x}}
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle {d \over dx}\csc {x}=-\csc {x}\cot {x}}
d
d
x
sec
x
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle {d \over dx}\sec {x}=\sec {x}\tan {x}}
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\cot {x}=-\csc ^{2}{x}}
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arcsin {x}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arccos {x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arctan {x}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} {x}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} {x}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} {x}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
적분식은 적분표 를 참고하라.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0