사용자:Kobmuiv/리만 곡면 자기 동형군

수학에서 후르비츠의 자기동형사상 정리는 방향 보존 등각 사상을 통해 종수 g인 컴팩트 리만 곡면의 자기 동형 사상 군의 순서를 제한한다. > 1, 그러한 동형의 수는 84( g를 초과할 수 없음을 나타낸다. - 1). 최대값이 달성되는 군을 후르비츠 군이라고 하며, 해당 리만 곡면을 후르비츠 곡면이라고 한다. 콤팩트 리만 곡면은 비특이 복소 사영 대수 곡선과 동의어이므로 후르비츠 곡면은 후르비츠 곡선이라고도 한다. ^[1] 이 정리는 그것을 증명한 아돌프 후르비츠의 이름을 따서 명명되었다 (Hurwitz 1893) .

후르비츠 경계는 또한 표수 0인 체에 대한 대수 곡선과 순서가 p와 동일소인 군에 대해 양의 표수인 p >0 체에 대해 유지되지만 p가 군 순서를 나눌 때 양의 표수인 p >0 체를 실패할 수 있다. 예를 들어, 소수 체 위에 정의된 모든 점에서 분기된 사영 직선 y ² = x ^p − x 의 이중 덮개는 g =( p −1)/2 종수을 가지지만 다음의 군 SL ₂ ( p )에 의해 작용한다. 순서 p ³ − p .

쌍곡선의 관점에서 해석[편집]

미분 기하학의 기본 주제 중 하나는 양의 곡률, 영의 곡률, 음의 곡률 K의 리만 다양체 사이의 삼분법이다. 그것은 다양한 상황과 여러 수준에서 나타난다. 콤팩트한 리만 곡면 X 의 맥락에서 리만 균일화 정리를 통해 이는 서로 다른 위상의 곡면 간의 구별로 볼 수 있다.

X는 구, K > 0가 있는 종수 0의 콤팩트 리만 곡면 ;
X 편평한 원환체 또는 타원 곡선, K = 0가 있는 속 1의 리만 곡면;
X는 1보다 크고 K. < 0를 갖는 쌍곡면 이다.

처음 두 경우에서 곡면 X는 무한히 많은 등각 자기동형사상을 허용하지만(사실 등각 자동형 군은 구의 경우 3차원이고 원환체의 경우 1차원의 복소 리 군이다), 쌍곡선 리만 곡면은 이산형만 허용한다. 자동형 집합. 후르비츠의 정리는 실제로 더 많은 것이 사실이라고 주장한다. 이는 속의 함수로서 자기 동형 군의 차수에 대한 균일한 경계를 제공하고 경계가 날카로운 리만 곡면을 특성화한다.

정리 및 증명[편집]

정리 : $X$ 를 종수 $g\geq 2$ 의 매끄러운 연결 리만 곡면이라 하자. 그러면 자기동형군 $\operatorname {Aut} (X)$ 의 크기는 기껏해야 $84(g-1)$ 이다.

증명: 지금은 $G=\operatorname {Aut} (X)$ 가 유한하다고 가정한다. (이것은 마지막에 증명될 것이다).

몫 사상 $X\to X/G$ 을 고려하자. $G$ 가 정칙함수에 의해 작용하며, 몫은 국소적으로 $z\to z^{n}$ 과 같은 형태이다. 그리고 몫 $X/G$ 은 매끄러운 리만 곡면이다. 몫 사상 $X\to X/G$ 는 분기된 덮개이며, 분기 지점이 자명하지 않은 안정화자가 있는 궤도에 해당하는 것을 아래에서 볼 수 있다. $g_{0}$ 가 $X/G$ 의 종수라 하자.
리만-후르비츠 공식에 의해, $2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)$ 여기서 이 합은 몫 사상 $X\to X/G$ 에 대한 $k$ 개의 분기점 $p_{i}\in X/G$ 들에 대한 합이다. $e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)$ 이므로 $p_{i}$ 에서 분기 지수 $e_{i}$ 는 단지 안정자군의 크기이다. 여기서 $f_{i}$ 는 $p_{i}$ 의 역상의 수(궤도 안에 있는 점들의 수)이며, $\deg(X/\,X/G)=|G|$ . 분기점의 정의에 따라서, 모든 $k$ 분기 지수에 대해 $e_{i}\geq 2$ .

이제 오른쪽 $|G|R$ 를 보자. $g\geq 2$ 이므로 $R>0$ . 방정식을 재정렬하면 다음과 같다.

$g_{0}\geq 2$ 이면 $R\geq 2$ , $|G|\leq (g-1)$ .
$g_{0}=1$ 이면, $k\geq 1$ 이고 $R\geq 0+1-1/2=1/2$ 여서 $|G|\leq 4(g-1)$ .
$g_{0}=0$ $g_{0}=0$ 이면, $k\geq 3$ $k\geq 3$ 이고
- $k\geq 5$ 이면 $R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2$ 이여서 $|G|\leq 4(g-1)$ .
- $k=4$ 이면, $R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6$ 이여서 $|G|\leq 12(g-1)$ .
- $k=3$ $k=3$ 이면, $e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r$ $e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r$ 라 적자. 이제 $2\leq p\leq q\ \leq r$ $2\leq p\leq q\ \leq r$ 라고 가정할 수 있다.
  - $p\geq 3$ 이면 $R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12$ 이여서 $|G|\leq 24(g-1)$ .
  - $p=2$ $p=2$ 이면
    - $q\geq 4$ 이면 $R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20$ 이여서 $|G|\leq 40(g-1)$ .
    - $q=3$ 이면, $R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42$ 이여서 $|G|\leq 84(g-1)$ .

결론적으로, $|G|\leq 84(g-1)$ .

$G$ 가 유한하다는 것을 보여주기 위해, $G$ 가 호지 분해 및 격자 $H^{1}(X,\mathbf {Z} )$ 보존하도록 코호몰로지 $H^{*}(X,\mathbf {C} )$ 에 작용함을 기억하라.

특히, $V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )$ 위에서 작용은 준동형사상 $h:G\to \operatorname {GL} (V)$ 을 부여하고 이산적 상 $h(G)$ 를 가진다.
게다가, 상 $h(G)$ 은 $V$ 에서 자연적인 비퇴화 에르미트 내적 ${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$ 을 보존한다. 특히 상 $h(G)$ 는 콤팩트한 유니터리 군 $\operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)$ 에 포함되어 있다. 따라서 상 $h(G)$ 은 불연속적인 것이 아니라 유한한 것이다.
$h:G\to \operatorname {GL} (V)$ 의 커널이 유한함을 증명하는 것이 남아있다 . 사실, $h$ 가 단사임을 증명할 것이다. $\varphi \in G$ 가 $V$ 위의 항등원 역할을 한다고 가정하자. 만약에 $\operatorname {fix} (\varphi )$ 가 유한하면, 레프셰츠 고정점 정리에 의해, $|\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.$

이는 모순이고 그래서 $\operatorname {fix} (\varphi )$ 는 무한하다. $\operatorname {fix} (\varphi )$ 가 양수 차원의 닫힌 복소 부분 다형체이며 $X$ 는 매끄러운 연결 곡선이므로(예: $\dim _{\mathbf {C} }(X)=1$ ), $\operatorname {fix} (\varphi )=X$ . 따라서 $\varphi$ 는 항등원이므로 $h$ 가 단사이고 $G\cong h(G)$ 는 유한하다. QED

증명의 결과 : 종수 $g\geq 2$ 인 리만 곡면 $X$ 는 $84(g-1)$ 개의 자기동형사상을 가짐과 $X$ 가 인덱스 2, 3 및 7 의 세 가지 분기점이 있는. 분지형 덮개 $X\to \mathbf {P} ^{1}$ 임이 동치이다.

후르비츠 곡면의 또 다른 증명 및 구성에 대한 아이디어[편집]

균일화 정리에 따르면 모든 쌍곡면 X (즉, X 의 가우스 곡률은 모든 점에서 음의 곡률과 동일함)는 쌍곡 평면으로 덮여 있다. 곡면의 등각 사상은 쌍곡 평면의 방향 보존 자기동형사상에 해당한다. 가우스-보네 정리에 따르면 곡면 면적은 다음과 같다.

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1).

X의 자기동형 군 G를 가능한 한 크게 만들기 위해 이 작업에 대한 기본 영역 D의 넓이가 가능한 한 작아야 한다. 기본 정의역이 쌍곡면의 쪽매맞춤을 정의하는 정점 각도 π/p, π/q 및 π/r을 갖는 삼각형인 경우 p, q 및 r 은 1보다 큰 정수이고 면적은 다음과 같다.

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r ).

따라서 표현식

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

이 엄격하게 양수이고 가능한 한 작게 만드는 정수를 요구하고 있다. 이 최소값은 1/42이며

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

는 정수의 유일한 세쌍을 제공한다. 이는 자기 동형 군의 위수 |G|의 상계가 다음과 같음을 뜻한다:

A( X )/A( D ) ≤ 168( g -1).

그러나 보다 섬세한 추론은 군 G가 방향 반전 변환을 포함할 수 있기 때문에 이것이 2배만큼 과대 평가되었음을 보여준다. 방향 보존 등각 자기 동형 사상의 경우 상계는 84( g − 1)이다.

구성[편집]

후르비츠 군의 예를 얻기 위해 쌍곡선 평면의 (2,3,7) 쪽매맞춤부터 시작하겠다. 전체 대칭 군은 각도 π/2, π/3 및 π/7을 갖는 하나의 기본 삼각형의 측면에 걸친 반사에 의해 생성된 전체 (2,3,7) 삼각형 군이다. 반사는 삼각형을 뒤집고 방향을 변경하므로 삼각형을 쌍으로 결합하여 방향을 유지하는 쪽매맞춤 다각형을 얻을 수 있다. 후르비츠 곡면은 쌍곡선 평면의 무한 쪽매맞춤 부분을 g 의 콤팩트한 리만 곡면으로 '닫음'으로써 얻는다. 이는 반드시 정확히 84( g − 1)개의 이중 삼각형 타일을 포함한다.

다음 두 개의 일반 쪽매맞춤에는 원하는 대칭 군이 있다. 회전 군은 모서리, 꼭지점 및 면에 대한 회전에 해당하는 반면, 전체 대칭 군에는 반사도 포함된다. 쪽매맞춤의 다각형은 기본 영역이 아니다. (2,3,7) 삼각형에 의한 쪽매맞춤은 이 두 가지를 모두 개선하며 규칙적이지 않다.

위수 3 칠각형 쪽매맞춤	위수 7 삼각형 쪽매맞춤

위토프 구성은 여기에 제공된 두 개의 일반 타일을 포함하여 8개의 균일한 쪽매맞춤을 생성하여 추가로 균일한 쪽매맞춤을 생성한다. 이것들은 모두 후르비츠 곡면으로 내려와 곡면의 쪽매맞춤(삼각형, 칠각형 쪽매맞춤 등)을 생성한다. ).

위의 주장으로부터 후르비츠 군 G는 두 개의 생성원 a 와 b 와 세 개의 관계를 갖는 군의 유한 몫이라는 속성을 특징으로 한다는 것을 추론할 수 있다.

a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,

따라서 G는 위수 2와 3인 두 원소에 의해 생성된 유한 군이며, 그 곱의 위수는 7이다. 보다 정확하게는 후르비츠 곡면, 즉 주어진 속의 곡면에 대한 자기 동형 군의 최대 위수를 실현하는 쌍곡면은 주어진 구성에 의해 얻을 수 있다. 이것이 허비츠 정리의 마지막 부분이다.

후르비츠 군 및 곡면의 예[편집]

가장 작은 후르비츠 군은 168차의 사영 특수 선형 군 PSL(2,7) 이고 해당 곡선은 클라인 4차 곡선이다. 이 군은 PSL(3,2) 와도 동형이다.

다음은 504차 자기동형 군 PSL(2,8)을 갖는 Macbeath 곡선 이다. 더 많은 유한 단순 군은 후르비츠 군이다. 예를 들어 교대 군 중 64개를 제외한 모든 군은 후르비츠 군이며, 후르비츠가 아닌 가장 큰 예는 167차이다. 후르비츠 군인 가장 작은 교대 군은 A ₁₅ 이다.

가장 큰 랭크의 사영 특수 선형군은 후르비츠 군이다 (Lucchini, Tamburini & Wilson 2000). 낮은 랭크의 경우 후르비츠와 같은 군이 더 적다. 7을 법으로 p의 위수인 n_p에 대해 q =7 또는 q = p ^n_p 중 하나 인 경우에만 PSL(2, q )가 후르비츠라는 것을 알 수 있다. 실제로, PSL(3, q )는 q = 2인 경우에만 후르비츠이고, PSL(4, q )는 결코 후르비츠가 아니며, PSL(5, q )는 q = 7 ⁴ 또는 q = p^n_p 인 경우에만 후르비츠이다. (Tamburini & Vsemirnov 2006) .

마찬가지로 리 유형의 많은 군이 후르비츠이다. 큰 랭크의 유한 고전 군은 후르비츠이다 (Lucchini & Tamburini 1999) . G2 유형의 예외적인 리 군과 2G2 유형의 이임학 군은 거의 항상 후르비츠 군이다(Malle 1990). 낮은 랭크의 예외적이고 비틀린 리 군의 다른 계열은 후르비츠로 표시된다 (Malle 1995).

후르비츠 군으로 생성될 수 있는 12개의 산재 군들 있다. 얀코 군 J ₁, J ₂ 및 J ₄, 피셔 군 Fi ₂₂ 및 Fi' ₂₄, 루드발디스 군, Held 군, 톰슨 군, 하라다– 노턴 군, 세 번째 콘웨이 군 Co ₃, 라이언스 군 및 괴물군, (Wilson 2001).

낮은 종수의 곡면에 있는 자기동형 군[편집]

g 종수의 리만 곡면 X 에 대해 얻을 수 있는 가장 큰 |Aut( X )|는 2≤ g ≤10에 대해 아래에 표시되어 있다.

종수	가능한 가장 큰 \|Aut(X)\|	X₀	Aut(X₀)
2	48	볼자 곡선	GL ₂ (3)
삼	168 (후르비츠 상계)	클라인 사차	PSL ₂ (7)
4	120	브링 곡선	S₅
5	192	모듈러 곡선 X (8)	PSL ₂ (Z/8Z)
6	150	페르마 곡선 F ₅	( C ₅ x C ₅ ): S ₃
7	504 (후르비츠 상계)	맥베스 곡선	PSL ₂ (8)
8	336
9	320
10	432
11	240

이 범위에는 g =3 및 g =7 속의 후르비츠 곡선만 존재한다.

일반화[편집]

후르비츠 곡면의 개념은 몇 가지 종수들을 제외한 모든 예를 포함하는 정의로 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다. 아마도 가장 자연스러운 것은 "극대 대칭" 곡면일 것이다. 동일한 대칭 곡면을 통해 원래 곡면의 대칭을 적절하게 포함하는 곡면으로 연속적으로 수정될 수 없는 곡면이다. 이는 모든 유향 콤팩트 종수에 가능한다

같이보기[편집]

(2,3,7) 삼각형 군

각주[편집]

↑ Technically speaking, there is an equivalence of categories between the category of compact Riemann surfaces with the orientation-preserving conformal maps and the category of non-singular complex projective algebraic curves with the algebraic morphisms.
↑ (Richter) Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image.

참고 문헌[편집]

Hurwitz, A. (1893), “Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich”, 《Mathematische Annalen》 41 (3): 403–442, doi:10.1007/BF01443420, JFM 24.0380.02.
Lucchini, A.; Tamburini, M. C. (1999), “Classical groups of large rank as Hurwitz groups”, 《Journal of Algebra》 219 (2): 531–546, doi:10.1006/jabr.1999.7911, ISSN 0021-8693, MR 1706821
Lucchini, A.; Tamburini, M. C.; Wilson, J. S. (2000), “Hurwitz groups of large rank”, 《Journal of the London Mathematical Society》, Second Series 61 (1): 81–92, doi:10.1112/S0024610799008467, ISSN 0024-6107, MR 1745399
Malle, Gunter (1990), “Hurwitz groups and G2(q)”, 《Canadian Mathematical Bulletin》 33 (3): 349–357, doi:10.4153/CMB-1990-059-8, ISSN 0008-4395, MR 1077110
Malle, Gunter (1995), 〈Small rank exceptional Hurwitz groups〉, 《Groups of Lie type and their geometries (Como, 1993)》, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 207, Cambridge University Press, 173–183쪽, MR 1320522
Tamburini, M. C.; Vsemirnov, M. (2006), “Irreducible (2,3,7)-subgroups of PGL(n,F) for n ≤ 7”, 《Journal of Algebra》 300 (1): 339–362, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.02.030, ISSN 0021-8693, MR 2228652
Wilson, R. A. (2001), “The Monster is a Hurwitz group”, 《Journal of Group Theory》 4 (4): 367–374, doi:10.1515/jgth.2001.027, MR 1859175, 2012년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2015년 9월 4일에 확인함
Richter, David A., 《How to Make the Mathieu Group M₂₄》, 2010년 4월 15일에 확인함

[[분류:복소기하학 정리]] [[분류:군론 정리]] [[분류:리만 곡면]] [[분류:대수기하학 정리]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]

[1] Technically speaking, there is an equivalence of categories between the category of compact Riemann surfaces with the orientation-preserving conformal maps and the category of non-singular complex projective algebraic curves with the algebraic morphisms.

[2] (Richter) Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image.

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