리만-후르비츠 공식

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기하학복소해석학에서, 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다.

역사[편집]

베른하르트 리만아돌프 후르비츠가 증명하였다.

정의[편집]

두 콤팩트 리만 곡면 사이에 정칙함수 가 존재한다고 하자. 이 함수가 에서 국소적으로 () 꼴일 경우, 이를 분기점(영어: ramified point)이라고 하고, 을 그 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다. 가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상(피복 공간)이라고 하자. 그렇다면 두 리만 곡면의 오일러 지표 사이에 다음이 성립한다.

여기서 의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 리만-후르비츠 공식이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분지 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

[편집]

바이어슈트라스 타원함수 는 타원곡선 에서 리만 구면으로 가는 정칙함수다. 이는 2중 피복이며, 또한 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서

이다.

리만 구면위에서 다음과 같은 정칙함수 , 을 생각하자 (). 그렇다면 이는 분지 피복이며, 그 분기점은

  • , 분지 지표
  • , 분지 지표

이다. 따라서 리만-후르비츠 공식은

이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]