모듈러 곡선

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수론대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간리만 곡면이다.[1] 타원곡선모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의[편집]

모듈러 군 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)의 부분군 G\subset\Gamma(1)가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 N에 대하여 \Gamma(N)\supset G라면, G를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 N을 합동 부분군 G준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.

Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 \mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 G 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 G\setminus\mathbb H를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 Y(G)라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)

\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58 X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})

대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.

타원점과 첨점[편집]

합동 부분군 G타원점 \tau\in\mathbb H는 그 점에서의 \mathbb H-작용에 대한 안정자군 G_\tau가 자명하지 않는 (\pm1\subset G보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우, G_\tau/\{\pm1\}의 크기를 타원점 \tau계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 G의 모듈러 곡선 Y(G) 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 G첨점(尖點, 영어: cusp)은 :G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})=X(G)-Y(G) 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계[편집]

모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선모듈러스 공간이다. 예를 들어, X(1)은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. \tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)는 타원 곡선

\mathbb C/\Lambda(z,\tau z)

과 대응된다. 여기서 \Lambda=\Lambda(\langle z,\tau z)0\ne z,\tau z\in\mathbb C에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, z는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 z를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

X(N)[편집]

X(N)의 경우, 타원곡선 E 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 p,q\in E이다.[2]:440

  • pq의 차수는 N의 약수이다. 즉, Np=Nq=0이다.
  • pq베유 쌍(Weil pairing)은 e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)이다.

복소수체의 경우, 두 N차 점

p=(a+b\tau)/N
q=(c+d\tau)/N
a,b,c,d\in\mathbb Z/N

의 베유 쌍은

e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)

이다.

이에 따라서 \{p,q\}N꼬임 부분군

\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}

기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 \tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는

(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

로 주어진다.

X0(N)[편집]

X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N순환 부분군

i\colon\mathbb Z/n\hookrightarrow C/\Lambda

이다.[2]:440 구체적으로, \tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는

\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

X1(N)[편집]

X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 N인 점 (즉, Nz\in\Lambdaz\in\mathbb C)이다.[2]{[rp|439}} 구체적으로, \tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H에 대하여 이는

1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

성질[편집]

모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 G의 콤팩트 모듈러 곡선 X(G)의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68

g(X(G))=1+|\Gamma(1):G|/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2

여기서

  • |\Gamma(1):G|부분군의 지표다.
  • r_2G의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
  • r_3는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
  • r_\inftyG의 첨점들의 수이다.

[편집]

Γ(1)[편집]

모듈러 군 \Gamma(1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)리만 구 \hat{\mathbb C}동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

j\colon \Gamma(1)\backslash\mathbb H\to\hat{\mathbb C}

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

  • 계수가 2인 타원점 1개 (i\in\mathbb H)
  • 계수가 3인 타원점 1개 ((1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H)
  • 첨점 1개 (i\infty)

를 가진다. 따라서

g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

Γ(N)[편집]

Γ(N)의 경우 N>1이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.[1]:106

|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases}
\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\
6&N=2
\end{cases}

또한, 이 경우 |\Gamma(1):\Gamma(N)|/N개의 첨점이 있다.[1]:106 따라서 이 경우 종수는

g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)

이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

g=1+6(1/12-1/4)=0

이다.

N소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)

g=(p+2)(p-3)(p-5)/24

따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 6 3 0 0 0
3 12 4 0
4 24 6 0
5 60 12 0
6 72 12 1
7 168 24 3
8 192 24 5
9 324 36 10
10 360 36 13
11 66 60 26

Γ1(N)[편집]

Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 Γ1(N)의 지표

|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N

이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.[1]:107[3]

r_\infty=\begin{cases}
2&N=2,3\\
3&N=4\\
\frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N>4
\end{cases}

(\phi오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107[3] 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 12 4 0
6 12 4 0
7 24 6 0
8 24 6 0
9 36 8 0
10 36 8 0
11 60 10 1
12 48 10 0

Γ0(N)[편집]

Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}
r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases}
r_\infty=\sum_{0<k | N}\phi((d,N/d))

여기서 \phi오일러 피 함수이고, (\tfrac ab)르장드르 기호이다. a|bab의 인수라는 뜻이다. p|bpb소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 6 2 2 0 0
6 12 4 0 0 0
7 8 2 0 2 0
8 12 4 0 0 0
9 12 4 0 0 0
10 18 4 2 0 0
11 12 2 0 0 1

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Diamond, Fred, Jerry Shurman (2005년). 《A first course in modular forms》, Graduate Texts in Mathematics 228, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/b138781. Zbl 1062.11022. ISBN 978-0-387-23229-4
  2. (영어) Silverman, Joseph H. (2009년). 《The arithmetic of elliptic curves》, Graduate Texts in Mathematics 106, ISSN 0072-5285, 2판, Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. Zbl 1194.11005. ISBN 978-0-387-09493-9
  3. (영어) Kim, Chang Heon, Ja Kyung Koo (1996년 10월). On the genus of some modular curves of level N. 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 54 (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Panchishkin, A.A. (2001). Modular curve. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.