모듈러 곡선

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수론대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간리만 곡면이다.[1] 타원곡선모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의[편집]

모듈러 군 의 부분군 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 에 대하여 라면, 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 을 합동 부분군 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.

Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58

대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.

타원점과 첨점[편집]

합동 부분군 타원점 는 그 점에서의 -작용에 대한 안정자군 가 자명하지 않는 (보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우, 의 크기를 타원점 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 의 모듈러 곡선 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 첨점(尖點, 영어: cusp)은 : 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계[편집]

모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선모듈러스 공간이다. 예를 들어, 은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. 는 타원 곡선

과 대응된다. 여기서 에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, 는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

X(N)[편집]

X(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 이다.[2]:440

  • 의 차수는 의 약수이다. 즉, 이다.
  • 베유 쌍(Weil pairing)은 이다.

복소수체의 경우, 두 차 점

의 베유 쌍은

이다.

이에 따라서 N꼬임 부분군

기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 에 대하여 이는

로 주어진다.

X0(N)[편집]

X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N순환 부분군

이다.[2]:440 구체적으로, 에 대하여 이는

이다.

X1(N)[편집]

X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 인 점 (즉, )이다.[2]:439 구체적으로, 에 대하여 이는

이다.

성질[편집]

모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 의 콤팩트 모듈러 곡선 의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68

여기서

  • 부분군의 지표다.
  • 의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
  • 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
  • 의 첨점들의 수이다.

[편집]

Γ(1)[편집]

모듈러 군 의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 리만 구 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

  • 계수가 2인 타원점 1개 ()
  • 계수가 3인 타원점 1개 ()
  • 첨점 1개 ()

를 가진다. 따라서

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

Γ(N)[편집]

Γ(N)의 경우 이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.[1]:106

또한, 이 경우 개의 첨점이 있다.[1]:106 따라서 이 경우 종수는

이다. 예를 들어, 인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

이다.

N소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)

따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 6 3 0 0 0
3 12 4 0
4 24 6 0
5 60 12 0
6 72 12 1
7 168 24 3
8 192 24 5
9 324 36 10
10 360 36 13
11 66 60 26

X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 에 의해 주어진다.

Γ1(N)[편집]

Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 Γ1(N)의 지표

이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.[1]:107[3]

(오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107[3] 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 12 4 0
6 12 4 0
7 24 6 0
8 24 6 0
9 36 8 0
10 36 8 0
11 60 10 1
12 48 10 0

Γ0(N)[편집]

Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

여기서 오일러 피 함수이고, 르장드르 기호이다. 의 인수라는 뜻이다. 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 6 2 2 0 0
6 12 4 0 0 0
7 8 2 0 2 0
8 12 4 0 0 0
9 12 4 0 0 0
10 18 4 2 0 0
11 12 2 0 0 1

참고 문헌[편집]

  1. Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022. 
  2. Silverman, Joseph H. (2009). 《The arithmetic of elliptic curves》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 106 2판. Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005. 
  3. Kim, Chang Heon; Ja Kyung Koo (1996년 10월). “On the genus of some modular curves of level N”. 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755. 

바깥 고리[편집]