부호함수

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시그넘 함수 sgn(x)

부호함수 (영어: sign(um) function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 sgn을 사용한다.

정의[편집]

부호함수는 복소수 범위에서 다음과 같이 정의한다.


특히, 실수 x에 대하여

이다.


복소수 z에 부호함수를 취하면 복소평면상의 단위원의 점으로 표현된다. 따라서

(arg는 복소평면의 실수축과 이루는 각을 표현하는 함수를 의미)가 성립한다.

성질[편집]

정의에 의하여 모든 복소수 x는 부호함수와 절댓값의 곱으로 표현할 수 있다.

또한, 다음과 같이 표현할 수도 있다.


부호함수의 곱셈에서 다음과 같은 관계가 성립한다.

특히 (5)에 의해


또 x가 실수일 때

이고

(3), (9)에 의해

가 성립한다.


부호함수의 합성에서 다음이 성립한다.


부호함수에 절댓값을 취하면 다음과 같다.


부호함수는 절댓값 함수(x = 0일 때는 제외)를 미분한 것으로 표현할 수 있다.


함께 보기[편집]