부호함수

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실수 부호 함수의 그래프
복소수 부호 함수는 0이 아닌 복소수를 단위원에 사영시킨다.

수학에서, 부호 함수(영어: sign(um) function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 .

정의[편집]

실수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 단위 계단 함수, 지시 함수이다. 즉, 실수 부호 함수는 양수는 1, 0은 0, 음수는 -1을 값으로 한다.

보다 일반적으로, 복소수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

여기서 절댓값, 편각이다. 즉, 복소수의 부호 함숫값은 0의 경우 0, 0이 아닌 경우 복소평면단위원에 대한 사영이다.

성질[편집]

항등식[편집]

모든 복소수 는 부호 함수와 절댓값의 곱으로 나타낼 수 있다.

0이 아닌 복소수 의 경우 이로부터 다음과 같은 항등식들을 얻을 수 있다.

복소수 부호 함수는 곱셈 및 나눗셈 및 덧셈 역원 및 켤레 복소수를 보존한다. 즉, 복소수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

복소수 부호 함수와 절댓값의 합성은 다음과 같다.

복소수 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, 복소수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

미분[편집]

실수 부호 함수는 0을 제외한 모든 점에서 미분 가능 함수이며, 그 도함수는 0이다. 0은 이 함수의 불연속점이다. 분포로서의 도함수는 어디서나 정의되며, 디랙 델타 함수의 2배이다.

적분[편집]

실수 부호 함수의 정적분은 다음과 같다.

외부 링크[편집]