양자장론에서 보고몰니 방정식(Богомольный方程式, 영어: Bogomol’nyi equation)은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다.[1] 그 해는 자기 홀극을 나타낸다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 3차원 유향 리만 다양체
- 이를 통하여, 호지 쌍대
가 존재한다.
- 콤팩트 단순 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-주다발
- 이로부터
의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발
을 정의할 수 있다.
의 주접속
- 그 곡률을
라고 하자.
의 매끄러운 단면
- 이에 대한 공변 미분
을 정의할 수 있다.
그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다.
![{\displaystyle F_{A}=*\nabla _{A}\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646182e770f65d083a2955369b12939b445c2db8)
보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 자기 홀극을 나타낸다.
자기 홀극[편집]
편의상, 게이지 군
및
를 생각하자.
보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지
![{\displaystyle \int _{M}(\langle F,F\rangle +\langle \mathrm {D} \phi ,\mathrm {D} \phi \rangle )\,\mathrm {d} ^{3}x<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daa4a58c123fbbc7b3c58ea37c7e428928c3ef2)
를 가지는 것들의, 게이지 변환군
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c063a4e6fae6c55243757b3d3bb281e5313fbd)
의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 한다. 만약
인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.[1]:15, (2.4)
![{\displaystyle |\phi |=\phi _{0}-{\frac {k}{2r}}+{\mathcal {O}}(r^{-2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ae9affdbac0ad114b8f1cadf11472921da941a)
![{\displaystyle {\frac {\partial |\phi |}{\partial \theta }}={\mathcal {O}}(r^{-2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e3ce3b4a39dbf9e5eccf1d53c0ed2d70348576)
![{\displaystyle |\mathrm {D} \phi |={\mathcal {O}}(r^{-2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6fa5423cf26116d5b54aa8921e8b66c6c6ee96)
여기서
는
의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며,
는 원점으로부터의 거리이다.
는 임의의 상수이며,
는 자하(磁荷, 영어: magnetic charge)이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을
라고 하자.
이 대신,
의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\leq {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\operatorname {SU} (2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8d25100bfc9aa3525f8c881252eeb760198b54)
라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의
동치류를 틀 갖춘 자기 홀극(영어: framed monopole)이라고 하자.[1]:15–16. 자하가
인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을
라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발
![{\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow {\mathcal {M}}_{k}\twoheadrightarrow {\mathcal {N}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a946538e57b84e906d2e1b3a15833057a97bfb)
을 이룬다.
순간자와의 관계[편집]
보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식
![{\displaystyle F^{(4)}=\pm *F^{(4)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37945cfeaff2b8dd6ba71e43f52f7777e98e38c)
을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜
는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은
![{\displaystyle F^{(4)}={\begin{pmatrix}0&\nabla _{A}\Phi \\-\nabla _{A}\Phi &F\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ffc6a24df54670f3d55fcf1f6822dd1a693934)
의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은
![{\displaystyle F=\pm *\nabla _{A}\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3b41172c68dcc5852b1a5f344c1ee615b0029b)
가 된다. 물론, 부호 ±는
를 재정의하여 없앨 수 있다.
모듈라이 공간[편집]
위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간
는
차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L2 계량으로 주어진다.) 즉,
는
차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군
이 작용하며, 이에 대한 몫공간
![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {M}}_{k}}{\mathbb {R} ^{3}\times \operatorname {U} (1)}}={\tilde {\mathcal {M}}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7cb70320b40374ec4f45992132385a4db8045da)
을 정의할 수 있다.
는
차원 초켈러 다양체이다.
특히,
이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한
해는 프라사드-소머필드 해(영어: Prasad–Sommerfield solution)라고 하며, 다음과 같다.
![{\displaystyle A=\left({\frac {1}{\sinh r}}-{\frac {1}{r}}\right)\epsilon _{ijk}{\frac {x^{j}}{r}}\sigma ^{k}\,\mathrm {d} x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca673955ebaf6beed9badb3cc2cbf8b6664dc06)
![{\displaystyle \phi =\left({\frac {1}{\tanh r}}-{\frac {1}{r}}\right){\frac {x^{i}}{r}}\sigma _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1e1504b34c3c70fc89e24f8b9fbe897b38127f)
여기서
는 리 대수
의 기저를 이루는 파울리 행렬이다.
일 때,
는 아티야-히친 다양체이다.[2] 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D0형에 해당한다.[3] (반면, A−1형은
이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, An은
중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.
남 방정식[편집]
보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.[1]:Chapter 16
예브게니 보리소비치 보고몰니(러시아어: Евге́ний Бори́сович Богомо́льный)가 도입하였다.[4]
같이 보기[편집]
- Murray, Michael K.; Singer, Michael A. (2003). “A note on monopole moduli spaces” (영어). arXiv:math-ph/0302020.
외부 링크[편집]