가쿠타니 사상

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수학과 경제학에서, 가쿠타니 사상([角谷]寫像, 영어: Kakutani map)은 고정점을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는, 정의역멱집합공역으로 갖는 함수이다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

함수

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 가쿠타니 사상이라고 한다.[1]:166, Definition 7.8.1 (여기서 멱집합을 뜻한다.)

  • 에 대하여, 는 공집합이 아니며, 콤팩트 집합이며, 볼록 집합이다.
  • 열린집합 에 대하여, 열린집합이다.

가쿠타니 사상 고정점은 (만약 존재한다면) 가 성립하는 점 이다.

성질[편집]

가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리([角谷]-Glicksberg-[樊]固定點定理, 영어: Kakutani(–Glicksberg–Fan) fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.[1]:169, Theorem 7.8.6

실수 하우스도르프 국소 볼록 공간 속의, 공집합이 아닌, 콤팩트 볼록 집합 위의 임의의 가쿠타니 사상 은 고정점을 갖는다.

샤우데르 고정점 정리(영어: Schauder fixed-point theorem)에 의하면, 다음이 성립한다.[1]:168, Theorem 7.8.4

실수 노름 공간 속의, 공집합이 아닌, 볼록 집합 위의 임의의 가쿠타니 사상 이 주어졌다고 하자. 만약 콤팩트 집합이라면, 는 고정점을 갖는다.

(이 경우, 정의역이 콤팩트 집합일 필요가 없다.)

[편집]

임의의 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 의 부분 집합 위의 연속 자기 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

를 정의하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 가 가쿠타니 사상이다.
  • 연속 함수이다.

특히, 만약 가 추가로 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간이며 가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 때, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 의하여, 만약 연속 함수라면 가 존재한다. 이 특수한 경우를 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리(Brouwer-Schauder-Тихонов固定點定理, 영어: Brouwer–Schauder–Tychonoff fixed point theorem)라고 한다.

반례[편집]

원소의 상이 볼록 집합이 아닐 때, 가쿠타니 고정점 정리의 반례. 함수 의 그래프는 검은 선으로 표시되었다. 그래프가 대각선(붉은 점선)과 교차하지 않으므로, 이는 고정점을 갖지 않는다.

가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에서, 모든 원소의 볼록 집합이어야 한다는 조건을 생략한다면 이 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각하자.

이는 에서 닫힌집합이지만 볼록 집합이 아니며, 고정점을 갖지 않는다.

응용[편집]

가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학게임 이론에 응용된다. 특히, 내시 평형의 존재를 가쿠타니 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

역사[편집]

1904년에 피에르스 볼(라트비아어: Piers Bohl, 1865~1921)이 3차원 유클리드 공간에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다.[2] 1910년에 라위트전 브라우어르자크 아다마르[3]는 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다.

1930년에 율리우시 샤우데르가 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 임의의 실수 바나흐 공간의 경우에 대하여 일반화하였으며,[4] 1935년에 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 추가로 일반화하였다.[5]

가쿠타니 시즈오가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다.[6] 이후 어빙 레너드 글릭스버그(영어: Irving Leonard Glicksberg)[7]:171와 판지(중국어: 樊⿰土畿, 병음: Fán Jí, 한자음: 번기, 영어: Ky Fan, 1914~2010)[8]:Theorem 1가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다.

켄 빈모어(영어: Ken Binmore)는 다음과 같은 일화를 저서에 수록하였다.

언젠가 일본의 수학자 가쿠타니가 내게 왜 자신의 강의에 수많은 경제학자들이 참석하였는지 물었다. 나는 그가 가쿠타니 고정점 정리 때문에 유명인이기 때문이라고 대답했는데, 가쿠타니는 다음과 같이 되물었다. “가쿠타니 고정점 정리가 뭡니까?”
A long time ago, the Japanese mathematician Kakutani asked me why so many economists had attended the lecture he had just given. When I told him that he was famous because of the Kakutani fixed-point theorem, he replied, “What is the Kakutani fixed-point theorem?”

 
[9]:256, §8.3

참고 문헌[편집]

  1. Granas, Andrzej; James, Dugundji (2003). 《Fixed point theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9. ISSN 1439-7382. doi:10.1007/978-0-387-21593-8. 
  2. Bohl, Piers (1904). “Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 127 (3–4): 179–276. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1904.127.179. 
  3. Hadamard, Jacques (1910). 〈Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker〉. 《Introduction à la théorie des fonctions d’une variable. Tome deuxième. Intégrales définies, développements en série. Langage géométrique, fonctions de variables imaginaires》 (프랑스어) 2판. Librarie scientifique A. Hermann & fils. 436–477쪽. 
  4. Schauder, J. (1930). “Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen” (PDF). 《Studia Mathematica》 (독일어) 2: 171–180. ISSN 0039-3223. 
  5. Tychonoff, Andrey (1935). “Ein Fixpunktsatz”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 111: 767–776. doi:10.1007/BF01472256. 
  6. Kakutani, Shizuo (1941). “A generalization of Brouwer's fixed point theorem”. 《Duke Mathematical Journal》 (영어) 8 (3): 457–459. MR 4776. Zbl 0061.40304. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4. 
  7. Glicksberg, Irving L. (1952). “A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 3 (1): 170–174. JSTOR 2032478. doi:10.2307/2032478. 
  8. Fan, Ky (1952). “Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 38 (2): 121–126. PMC 1063516. PMID 16589065. doi:10.1073/pnas.38.2.121. 
  9. Binmore, Ken (2007). 《Playing for real: a text on game theory》 (영어). Oxford University Press. 

외부 링크[편집]