폴란드 공간

일반위상수학에서, 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술 집합론(영어: descriptive set theory)을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의

폴란드 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 $X$이다.^:228

• $X$는 제2 가산 공간이다.
• $X$는 완비 거리 공간과 위상동형이다.

폴란드 군은 폴란드 공간인 위상군을 의미한다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질

위상수학적 성질

폴란드 공간은 다음과 같은 기본적인 몇 가지 성질을 갖는다.^:229

• 폴란드 공간의 닫힌 집합은 폴란드 공간이다.
• 폴란드 공간의 열린 집합은 폴란드 공간이다.
• 폴란드 공간의 가산 개만큼의 곱공간은 폴란드 공간이다.

부분공간이 폴란드 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음의 마주르키에비치 정리로 주어진다.^:230 이 정리에는 폴란드 수학자 스테판 마주르키에비치(Stefan Mazurkiewicz)의 이름이 붙어 있다.

• 마주르키에비치 정리 : X가 폴란드 공간이고 A가 X의 부분공간일 때, A가 폴란드 공간일 필요충분조건은 A가 X 상에서 $G_{\delta }$-집합인 것이다.

따라서 X가 폴란드 공간일 필요충분조건은 $[0,1]^{N}$ 안의 $G_{\delta }$-공간과 위상동형인 것이다. 그밖에 폴란드 공간에서는 다음의 칸토어-벤딕손 정리도 성립한다. 이 정리에는 독일의 수학자 게오르크 칸토어와 스웨덴의 수학자 이바르 오토 벤딕손(Ivar Otto Bendixson)의 이름이 붙어 있다.

• 칸토어-벤딕손 정리 : X가 폴란드 공간이면, X 상에서 임의의 닫힌 집합은 적당한 완전집합과 가산 집합의 서로소 합집합으로 나타낼 수 있다.

집합론·측도론적 성질

두 폴란드 공간 $X$, $Y$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.^:§3.1.2

• $X$와 $Y$는 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 가측 공간으로서 서로 동형이다. 즉, $X$와 $Y$ 사이에 전단사 함수 $f\colon X\to Y$가 존재하며, 이는 $X$와 $Y$의 보렐 시그마-대수 사이의 동형 $f^{*}\colon {\mathcal {B}}(X)\to {\mathcal {B}}(Y)$을 유도한다.
• $|X|=|Y|$이다. 즉, $X$와 $Y$의 크기는 (기수로서) 같다.

또한, 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

$|X|\in \{0,1,2,\dots ,\aleph _{0},2^{\aleph _{0}}\}$

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) $\aleph _{0}<|X|<2^{\aleph _{0}}$인 폴란드 공간 $X$는 존재하지 않는다.^:§3.1

따라서, 모든 폴란드 공간은 가측 공간으로서 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.^:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상동형보다 더 약하다.)

• 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$
• 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))$
• 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 $n$인 유한 집합 $(\{1,\dots ,n\},{\mathcal {P}}(\{1,\dots ,n\}))$ ($n=0,1,2,\dots$)

예

• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.
• 열린 구간 $(0,1)\subset \mathbb {R}$은 표준적인 거리 공간 구조로는 완비 거리 공간이 아니지만, 실수선 $\mathbb {R}$와 위상동형이므로 폴란드 공간이다.
• 가산 이산 공간은 폴란드 공간이다. (비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니다.)

역사와 어원

바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.^:228

참고 문헌

• Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. Zbl 0951.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Kechris, Alexander S. (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. Zbl 0819.04002. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polish space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Polish space”. 
• Marker, David (2002). “Descriptive set theory” (PDF). 

같이 보기

• 완비 거리화
• 거리화 가능 공간
• 완비 거리 공간