폴란드 공간

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일반위상수학에서, 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리공간과 유사하여 측도론 및 묘사 집합론(영어: descriptive set theory)을 쉽게 전개할 수 있는 위상공간이다.

정의[편집]

폴란드 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상공간 X이다.[1]:228

폴란드 군은 폴란드 공간인 위상군을 의미한다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질[편집]

위상수학적 성질[편집]

폴란드 공간은 다음과 같은 기본적인 몇 가지 성질을 갖는다.[1]:229

  1. 폴란드 공간의 닫힌 부분공간은 폴란드 공간이다.
  2. 폴란드 공간의 열린 부분공간도 폴란드 공간이다.
  3. 폴란드 공간의 가산 개만큼의 곱위상은 폴란드 공간이다.

부분공간이 폴란드 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음의 마주르키에비치 정리로 주어진다.[1]:230 이 정리에는 폴란드 수학자 스테판 마주르키에비치(Stefan Mazurkiewicz)의 이름이 붙어 있다.

  • 마주르키에비치 정리 : X가 폴란드 공간이고 A가 X의 부분공간일 때, A가 폴란드 공간일 필요충분조건은 A가 X 상에서 G_\delta-집합인 것이다.

따라서 X가 폴란드 공간일 필요충분조건은 [0,1]^N 안의 G_\delta-공간과 위상동형인 것이다. 그밖에 폴란드 공간에서는 다음의 칸토어-벤딕손 정리도 성립한다. 이 정리에는 독일의 수학자 게오르크 칸토어스웨덴의 수학자 이바르 오토 벤딕손(Ivar Otto Bendixson)의 이름이 붙어 있다.

  • 칸토어-벤딕손 정리 : X가 폴란드 공간이면, X 상에서 임의의 닫힌 집합은 적당한 완전집합과 가산집합의 서로소 합집합으로 나타낼 수 있다.

집합론·측도론적 성질[편집]

두 폴란드 공간 X, Y에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.[2]:§3.1.2

또한, 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

|X|\in\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\}

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 2^{\aleph_0} 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) \aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}인 폴란드 공간 X는 존재하지 않는다.[2]:§3.1

따라서, 모든 폴란드 공간은 가측공간으로서 다음 가측공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.[2]:§3.1.2 (가측공간으로서의 동형은 위상동형보다 더 약하다.)

  • 보렐 시그마-대수를 갖춘 실수선 (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))
  • 이산 시그마-대수를 갖춘 자연수 집합 (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))
  • 이산 시그마-대수를 갖춘, 크기가 n인 유한집합 (\{1,\dots,n\},\mathcal P(\{1,\dots,n\})) (n=0,1,2,\dots)

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역사와 어원[편집]

바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.[1]:228

참고 문헌[편집]

  1. (한국어) 김승욱 (2004년). 《위상수학: 집합론을 중심으로》, 2판, 경문사. ISBN 89-7282-587-5
  2. (영어) Berberian, S.K. (1988년). 〈Borel spaces〉, 《Functional analysis and its applications》, 134–197쪽. Zbl 0806.54031

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]