폴란드 공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

일반위상수학에서, 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술 집합론(영어: descriptive set theory)을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

폴란드 공간은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간 X이다.[1]:228

폴란드 군은 폴란드 공간인 위상군을 의미한다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질[편집]

위상수학적 성질[편집]

폴란드 공간은 다음과 같은 기본적인 몇 가지 성질을 갖는다.[1]:229

부분공간이 폴란드 공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음의 마주르키에비치 정리로 주어진다.[1]:230 이 정리에는 폴란드 수학자 스테판 마주르키에비치(Stefan Mazurkiewicz)의 이름이 붙어 있다.

  • 마주르키에비치 정리 : X가 폴란드 공간이고 A가 X의 부분공간일 때, A가 폴란드 공간일 필요충분조건은 A가 X 상에서 G_\delta-집합인 것이다.

따라서 X가 폴란드 공간일 필요충분조건은 [0,1]^N 안의 G_\delta-공간과 위상동형인 것이다. 그밖에 폴란드 공간에서는 다음의 칸토어-벤딕손 정리도 성립한다. 이 정리에는 독일의 수학자 게오르크 칸토어스웨덴의 수학자 이바르 오토 벤딕손(Ivar Otto Bendixson)의 이름이 붙어 있다.

집합론·측도론적 성질[편집]

두 폴란드 공간 X, Y에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.[2]:§3.1.2

또한, 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

|X|\in\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\}

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 2^{\aleph_0} 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) \aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}인 폴란드 공간 X는 존재하지 않는다.[2]:§3.1

따라서, 모든 폴란드 공간은 가측공간으로서 다음 가측공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.[2]:§3.1.2 (가측공간으로서의 동형은 위상동형보다 더 약하다.)

  • 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 (\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))
  • 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))
  • 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 n인 유한집합 (\{1,\dots,n\},\mathcal P(\{1,\dots,n\})) (n=0,1,2,\dots)

[편집]

역사와 어원[편집]

바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.[1]:228

참고 문헌[편집]

  1. (한국어) 김승욱 (2004년). 《위상수학: 집합론을 중심으로》, 2판, 경문사. ISBN 89-7282-587-5
  2. (영어) Berberian, S.K. (1988년). 〈Borel spaces〉, 《Functional analysis and its applications》, 134–197쪽. Zbl 0806.54031

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]