실로우의 정리

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군론에서, 실로우의 정리(영어: Sylow’s theorem) 또는 쉴로브의 정리는 어떤 유한군의 위수로부터 특정한 위수를 가진 부분군의 존재성 등의 매우 유용한 성질들을 알 수 있게 해 주는 근본적이면서도 중요한 정리이다. 이 정리는 군의 작용이라는 수학적 도구의 기초적 응용에 의하여 얻을 수 있다.

실로우의 정리는 이전까지 관련 주제의 선구적인 연구 성과였던 코시의 정리를 폭넓게 일반화한 것이면서, 또한 라그랑주 정리의 부분적 역을 제공하고 있다는 점에서 추상대수학의 발전사에서 결정적인 위치를 점하고 있다. 또 이 정리를 이용하면, 유한 단순군의 성질에 관한 몇 가지 중요한 결과를 유도할 수 있다.

예비 개념들[편집]

실로우의 정리를 이해하기 위해서는 몇 가지 예비 개념들이 필요하다.

  • 어떤 유한군 G의 임의의 원소의 위수가 소수 p에 대하여 p^n 꼴일 때 이 군 Gp-군(p-group)이라고 부른다.
  • 어떤 유한군 G가 p-군이면서 어떤 군 H의 부분군일 때, GH의 p-부분군(p-subgroup)이라고 부른다.
  • H의 p-부분군 G가 자신을 포함하는 H의 p-부분군은 자신밖에 없을 때, G극대 p-부분군(maximal p-subgroup) 혹은 실로우 p-부분군(Sylow p-subgroup)이라 부른다.

공식화[편집]

실로우의 정리는 3개로 구성된다. 각각 제1 실로우 정리, 제2 실로우 정리, 제3 실로우 정리로 이루어지는데, 이들은 각각 어떤 유한군에 대하여 그 유한군의 위수를 이용하여 실로우 p-부분군의 존재성, 실로우 p-부분군들 사이의 관계, 실로우 p-부분군들의 개수에 관한 사실을 제시해 준다.

제1 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G의 위수가 소수 p와 이와 서로소인 자연수 m에 대하여 적당한 자연수 n이 존재하여 mp^n 꼴일 경우, 다음 두 명제가 성립한다.
  • i) 임의의 n보다 같거나 작은 자연수 i 에 대하여, p^i 위수를 갖는 G의 p-부분군이 존재한다.
  • ii) in이 아니면, 위수가 p^i인 G의 임의의 p-부분군을 정규부분군으로 하는 p^{i+1} 위수의 p-부분군이 존재한다.

제2 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G에 대하여, G의 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다.

제3 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G에 대하여 실로우 p-부분군의 총 수는 G의 위수의 약수이며, 자연수 n에 대하여 항상 np+1 꼴이 된다.

응용 사례들[편집]

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 대표적인 것들을 몇 가지만 다음에 나열해 본다.

  • 어떤 군의 위수가 소수 p, q(p<q)에 대하여 pq 꼴이며 p \not| q-1이면, 이 군은 순환군이다.
  • 어떤 군의 위수가 소수 p, q(p<q)에 대하여 pq 꼴이며 p | q-1이면, 이 꼴의 비아벨군은 유일하다.
  • 위수가 소수 p, q에 대하여 pq, p^2q, p^2q^2꼴인 군은 단순군이 아니다.
  • 유한 아벨군 G에 대하여 이 군의 위수의 어떤 소인수 p에 대해서도 실로우 p-부분군은 유일하게 존재한다.

무한군에 대한 실로우 정리[편집]

실로우의 정리는 일반적으로 유한군에 대해서만 적용할 수 있다. 그러나, 무한군에 대하여서도 실로우 p-부분군의 개수가 유한한 경우에 한하여 다음과 같이 제한된 형식의 실로우 정리를 적용할 수 있다. 여기서 실로우 p-부분군의 존재성은 초른의 보조정리에 의하여 인정된다.

  • 정리 : 어떤 무한군 G에 대하여 실로우 p-부분군의 개수가 자연수 n이라 하자. 이때 n = kp+1 꼴이며, 또 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다.

역사[편집]

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하여 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • (한국어) 김주필 (2009년). 《알기 쉬운 대수학》. 대선