실로우의 정리

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대수학에서 실로우의 정리(Sylow's Theorems)란 유한군의 구조론에서, 어떤 유한군의 위수로부터 특정한 위수를 가진 부분군의 존재성 등의 매우 유용한 성질들을 알 수 있게 해 주는 근본적이면서도 중요한 정리이다. 이 정리는 군의 작용이라는 수학적 도구의 기초적 응용에 의하여 얻을 수 있다. 노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브(Peter Ludwig Mejdell Sylow)가 증명하여 1872년에 정식으로 출판하였다.

실로우의 정리는 이전까지 관련 주제의 선구적인 연구 성과였던 코시의 정리를 폭넓게 일반화한 것이면서, 또한 라그랑주 정리의 부분적 역을 제공하고 있다는 점에서 추상대수학의 발전사에서 결정적인 위치를 점하고 있다. 또 이 정리를 이용하면, 유한 단순군의 성질에 관한 몇 가지 중요한 결과를 유도할 수 있다.

예비 개념들[편집]

실로우의 정리를 이해하기 위해서는 몇 가지 예비 개념들이 필요하다.

  • 어떤 유한군 G의 임의의 원소의 위수가 소수 p에 대하여 p^n 꼴일 때 이 군 Gp-군(p-group)이라고 부른다.
  • 어떤 유한군 G가 p-군이면서 어떤 군 H의 부분군일 때, GH의 p-부분군(p-subgroup)이라고 부른다.
  • H의 p-부분군 G가 자신을 포함하는 H의 p-부분군은 자신밖에 없을 때, G극대 p-부분군(maximal p-subgroup) 혹은 실로우 p-부분군(Sylow p-subgroup)이라 부른다.

공식화[편집]

실로우의 정리는 3개로 구성된다. 각각 제1 실로우 정리, 제2 실로우 정리, 제3 실로우 정리로 이루어지는데, 이들은 각각 어떤 유한군에 대하여 그 유한군의 위수를 이용하여 실로우 p-부분군의 존재성, 실로우 p-부분군들 사이의 관계, 실로우 p-부분군들의 개수에 관한 사실을 제시해 준다.

제1 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G의 위수가 소수 p와 이와 서로소인 자연수 m에 대하여 적당한 자연수 n이 존재하여 mp^n 꼴일 경우, 다음 두 명제가 성립한다.
  • i) 임의의 n보다 같거나 작은 자연수 i 에 대하여, p^i 위수를 갖는 G의 p-부분군이 존재한다.
  • ii) in이 아니면, 위수가 p^i인 G의 임의의 p-부분군을 정규부분군으로 하는 p^{i+1} 위수의 p-부분군이 존재한다.

제2 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G에 대하여, G의 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다.

제3 실로우 정리[편집]

  • 정리 : 어떤 유한군 G에 대하여 실로우 p-부분군의 총 수는 G의 위수의 약수이며, 자연수 n에 대하여 항상 np+1 꼴이 된다.

응용 사례들[편집]

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 대표적인 것들을 몇 가지만 다음에 나열해 본다.

  • 어떤 군의 위수가 소수 p, q(p<q)에 대하여 pq 꼴이며 p \not| q-1이면, 이 군은 순환군이다.
  • 어떤 군의 위수가 소수 p, q(p<q)에 대하여 pq 꼴이며 p | q-1이면, 이 꼴의 비아벨군은 유일하다.
  • 위수가 소수 p, q에 대하여 pq, p^2q, p^2q^2꼴인 군은 단순군이 아니다.
  • 유한 아벨군 G에 대하여 이 군의 위수의 어떤 소인수 p에 대해서도 실로우 p-부분군은 유일하게 존재한다.

무한군에 대한 실로우 정리[편집]

실로우의 정리는 일반적으로 유한군에 대해서만 적용할 수 있다. 그러나, 무한군에 대하여서도 실로우 p-부분군의 개수가 유한한 경우에 한하여 다음과 같이 제한된 형식의 실로우 정리를 적용할 수 있다. 여기서 실로우 p-부분군의 존재성은 초른의 보조정리에 의하여 인정된다.

  • 정리 : 어떤 무한군 G에 대하여 실로우 p-부분군의 개수가 자연수 n이라 하자. 이때 n = kp+1 꼴이며, 또 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • 김주필, 『알기 쉬운 대수학』, 도서출판 대선, 2009