실로우의 정리

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군론에서, 실로우의 정리(영어: Sylow’s theorem) 또는 쉴로브의 정리는 어떤 유한군의 위수로부터 특정한 위수를 가진 부분군의 존재성 등의 매우 유용한 성질들을 알 수 있게 해 주는 근본적이면서도 중요한 정리이다. 이 정리는 군의 작용이라는 수학적 도구의 기초적 응용에 의하여 얻을 수 있다.

실로우의 정리는 이전까지 관련 주제의 선구적인 연구 성과였던 코시의 정리를 폭넓게 일반화한 것이면서, 또한 라그랑주 정리의 부분적 역을 제공하고 있다는 점에서 추상대수학의 발전사에서 결정적인 위치를 점하고 있다. 또 이 정리를 이용하면, 유한 단순군의 성질에 관한 몇 가지 중요한 결과를 유도할 수 있다.

정의[편집]

소수 p가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 p의 거듭제곱인 이다. G실로우 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 만약 H\le G가 다음 두 조건을 만족시킬 때, HG의 실로우 p-부분군이라고 한다.

  • Hp-군이다.
  • H\le K\le Gp-부분군 KH 뿐이다.

G유한군이며, p소수라고 하자. 또한, 어떤 음이 아닌 정수 n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}과 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여

|G|=p^nm

이며, pm서로소라고 하자. 그렇다면 다음 세 개의 정리가 성립한다.

  • 제1 실로우 정리: |G|가 크기가 p^n인 실로우 p-부분군이 존재한다.
  • 제2 실로우 정리: G의 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다. 즉, 모든 실로우 p-부분군의 크기는 p^n이다.
  • 제3 실로우 정리: G의 실로우 p-부분군의 총 수가 n_p이며, HG의 임의의 실로우 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
n_p\equiv1\pmod p
n_p=|G:N_G(H)|
여기서 N_G(H)H정규화 부분군이다. |G:N_G(H)||G|/|H|=m의 배수이므로, n_p\equiv0\pmod m이다.

코시의 정리는 제1 실로우 정리의 특수한 경우이다.

응용 사례들[편집]

실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 대표적인 것들을 몇 가지만 다음에 나열해 본다. pq소수이며, p<q라고 하자.

무한군에 대한 실로우 정리[편집]

실로우의 정리는 일반적으로 유한군에 대해서만 적용할 수 있다. 그러나, 무한군에 대하여서도 실로우 p-부분군의 개수가 유한한 경우에 한하여 다음과 같이 제한된 형식의 실로우 정리를 적용할 수 있다. 여기서 실로우 p-부분군의 존재성은 초른의 보조정리에 의하여 인정된다.

  • 정리 : 어떤 무한군 G에 대하여 실로우 p-부분군의 개수가 자연수 n이라 하자. 이때 n = kp+1 꼴이며, 또 모든 실로우 p-부분군들은 서로 켤레이다.

역사[편집]

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • (한국어) 김주필 (2009년). 《알기 쉬운 대수학》. 대선

바깥 고리[편집]