군론 에서 이중 잉여류 (二重剩餘類, 영어 : double coset )는 주어진 두 부분군 에 의하여 결정되는 동치 관계 에 대한 동치류 이다.
군
G
{\displaystyle G}
부분군
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
g
{\displaystyle g}
이중 잉여류 는 다음과 같다.
H
g
K
=
{
h
g
k
:
h
∈
H
,
k
∈
K
}
{\displaystyle HgK=\{hgk\colon h\in H,\;k\in K\}}
특히,
H
{\displaystyle H}
자명 부분군 일 경우 이는
K
{\displaystyle K}
g
{\displaystyle g}
오른쪽 잉여류
g
K
{\displaystyle gK}
K
{\displaystyle K}
H
{\displaystyle H}
g
{\displaystyle g}
왼쪽 잉여류
H
g
{\displaystyle Hg}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
G
{\displaystyle G}
정규 부분군 일 경우,
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
H
∖
G
/
K
{\displaystyle H\backslash G/K}
군
G
{\displaystyle G}
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
H
∖
G
/
K
{\displaystyle H\backslash G/K}
G
{\displaystyle G}
분할 을 이룬다. 즉, 임의의
g
,
g
′
∈
G
{\displaystyle g,g'\in G}
H
g
K
=
H
g
′
K
{\displaystyle HgK=Hg'K}
H
g
K
∩
H
g
′
K
=
∅
{\displaystyle HgK\cap Hg'K=\varnothing }
군
G
{\displaystyle G}
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
|
H
∖
G
/
K
|
=
|
K
∖
G
/
H
|
{\displaystyle |H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|}
다음과 같은 함수를 생각하자.
H
∖
G
/
K
→
K
∖
G
/
H
{\displaystyle H\backslash G/K\to K\backslash G/H}
H
g
K
↦
K
g
−
1
H
{\displaystyle HgK\mapsto Kg^{-1}H}
그렇다면, 이는 자명하게 전단사 함수 이므로, 정의역과 공역의 크기는 같다.
군
G
{\displaystyle G}
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
H
g
K
{\displaystyle HgK}
크기 는
|
H
g
K
|
=
|
H
|
|
K
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
{\displaystyle |HgK|={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}
이다.
|
H
g
K
|
=
|
H
(
g
K
g
−
1
)
|
=
|
H
|
|
g
K
g
−
1
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
=
|
H
|
|
K
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
{\displaystyle |HgK|=|H(gKg^{-1})|={\frac {|H||gKg^{-1}|}{|H\cap gKg^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}
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