서로소 (수론)

서로소(-素)는 두 정수 사이의 공약수가 1과 -1 이외에 존재하지 않는다는 것을 뜻한다. 이것은 두 수의 최대공약수가 1이라는 것과도 같다.

예를 들면, 6과 35의 공약수는 1과 -1뿐이므로 서로소이고, 6과 27 사이의 공약수에는 1과 -1 이외에도 3과 -3이 존재하기 때문에 서로소가 아니다. 1과 -1은 임의의 정수와 서로소이며, 0과 서로소인 정수는 1과 -1뿐이다.

성질

만약 두 수 $a, b$가 서로소이면, $ax + by = 1$인 두 정수 $x, y$가 존재한다. 또한 이것의 역도 성립한다.

어떤 정수를 임의로 선택했을 때 그 정수가 소수 $p$의 배수일 확률은 $\frac{1}{p}$이다. 따라서 임의의 두 정수가 소수 $p$의 배수일 확률은 $\frac{1}{p^2}$이다.

두 정수가 모든 소수의 배수가 아닐 확률, 즉 서로 소일 확률은 다음과 같다.

$\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \frac 1 {\prod \frac{1}{1-p^{-2}}} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}$ = 0.607927101854026628663276...=60.7927101854026628663276...%

여기에서 $\zeta$는 리만 제타 함수를 뜻한다.

서로 다른 두 소수는 서로소이며, 서로 다른 두 서로소를 제곱한 수도 서로소 이다.