최소 다항식

추상대수학에서, 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.

정의

체 $K$에 대한 멱결합 대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

${\mathfrak {J}}_{a}=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}$

(만약 $A$가 1을 갖지 않는다면, ${\mathfrak {J}}_{a}\subseteq (x)K[x]$이다.) 그렇다면 ${\mathfrak {J}}_{a}$는 $K[x]$의 아이디얼이다. $K[x]$는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

• ${\mathfrak {J}}_{a}=(0)$이다. 이 경우, $a$는 초월원이며, $A$는 초월 대수이다.
• ${\mathfrak {J}}_{a}=(p_{a}(x))$가 되는 일계수 다항식 $p_{a}(x)\in K[x]$가 존재한다. 이 경우, $p_{a}(x)$를 $a$의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, ${\mathfrak {J}}_{a}$에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 $p_{a}$보다 차수가 더 크다.)

성질

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

체의 확대

체의 확대 $L/K$에 대하여, $L$은 가환 $K$-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서, $L/K$에서 $a\in L$의 최소 다항식 $p_{a}\in K[x]$가 인수 분해가 가능하다면 ($p_{a}=qr$), $K[x]$는 정역이므로 $q(a)=0$이거나 $r(a)=0$이며, $\deg q,\deg r<\deg p$이다. 그러나 $p_{a}$는 ${\mathfrak {J}}_{a}$의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대 $L/K$에서, $K$가 완전체라면 임의의 $a\in L$에 대하여 $p_{a}(x)\in K[x]\subset {\bar {K}}[x]$의 (대수적 폐포 ${\bar {K}}$에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 $K$가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 $L/K$가 분해 가능 확대가 아니라고 한다.

선형 변환

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬의 유한 차원 $K$-단위 결합 대수 $\operatorname {Mat} (n;K)$에서, 임의의 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 $G\in \operatorname {GL} (n;K)$에 대하여, $M$과 $G^{-1}MG$의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 $L$이 $K$를 포함하는 더 큰 체일 경우, $M$의 $\operatorname {Mat} (n;K)$에서의 최소 다항식과 $\operatorname {Mat} (n;L)$에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $M$의 최소 다항식 $\mu _{M}(x)$는 1차 다항식들의 곱이다.
• $M$은 삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $M$의 최소 다항식 $\mu _{M}(x)$는 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
• $M$은 대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라, $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$의 최소 다항식의 소인수 분해가

$p_{M}(x)=\prod _{p}p^{n_{p}}$

라면,

$\deg p\mid \dim \ker p(M)^{n_{p}}$

$n_{p}\leq \dim \ker p(M)^{n_{p}}/\deg p$

$\det(x-M)=\prod _{p}p^{\dim \ker p(M)^{n_{p}}/\deg p}$

이다.^{:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4}

예

체의 확대 $L/K$에서, $a\in K$라면, $p_{a}(x)=x-a\in K[x]$이다.

실수체의 확대인 복소수체 $\mathbb {C} /\mathbb {R}$에서, $z\in \mathbb {C}$의 최소 다항식은 다음과 같다.

$p_{z}(x)={\begin{cases}x-z&z\in \mathbb {R} \\(x-z)(x-{\bar {z}})=x^{2}-2(z+{\bar {z}})x+z{\bar {z}}&z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{cases}}$

실수 행렬

$M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )$

의 특성 다항식은

$\det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)$

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, $M$의 최소 다항식 역시

$p_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)$

이다.

대수적 수체

이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q}$에서, $d$가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면 ${\sqrt {d}}$의 최소 다항식은 $x^{2}-d\in \mathbb {Q} [x]$이다.

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$의 $\mathbb {Q}$ 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

$p_{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$

원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q}$에서, $\zeta _{n}$의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial) $\Phi _{n}$이라고 하며, 다음과 같다.

$\Phi _{1}(x)=x-1$

$\Phi _{2}(x)=x+1$

$\Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1$

$\Phi _{4}(x)=x^{2}+1$

$\Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$

$\Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$\Phi _{8}(x)=x^{4}+1$

$\Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$

$\Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$

$\vdots$

특히, $n$이 소수일 경우

$\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}$

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대 $(\mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x))/\mathbb {F} _{p}(x)$에서, $y\in \mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x)$의 최소 다항식은

$p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]$

이다. 이 경우, ${\overline {\mathbb {F} _{p}(x)}}$ 위에서

$p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}$

이다. 즉, $p_{y}$는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌

• Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001. 

같이 보기

• 분해체
• 체 노름
• 분해 가능 확대
• 갈루아 확대

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic number minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix minimal polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition: Minimal polynomial”. 《ProofWiki》. 2013년 12월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 18일에 확인함. 
• “Minimal polynomial is unique”. 《ProofWiki》. 
• “Minimal polynomial is irreducible”. 《ProofWiki》. 2013년 12월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 18일에 확인함.